下面是小编为大家整理的绝对值全面分析,供大家参考。
一、绝对值的意义及其化简 （1）绝对值的几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示 a 的点与原点的距离。数 a 的绝对值记作 a
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. （3）绝对值的性质：①( 0)0( 0)( 0)a aa aa a ，②( 0)( 0)a aaa a 或( 0)( 0)a aaa a （4）绝对值其他的重要性质：
①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 a a 且 a a
②若 a b ，则 a b 或 a b
③ a b a b ，aab b （ 0 b ）
④ 22 2a a a
二、绝对值的非负性 （1）非负性：若有几个非负数的和为 0 ，那么这几个非负数均为 0
（2）
绝对值的非负性；若 0 a b c ，则必有 0 a ， 0 b ， 0 c
（3）
若 a b b
，则 0 a ， 0 b
（4）
若 =1aa 则 0 a
= - 1aa 则 0 a
对于任意非零实数 a ， =
1aa
（5）
若 2( ) a +2( ) b = 0 ，则 0 a ， 0 b
（6）
若 2( ) 0 a b
，则 0 a ， 0 b
三、绝对值的化简
零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 四、绝对值的几何意义 （1）
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． （2）
a b 的几何意义：在数轴上，表示数 a 、 b 对应数轴上两点间的距离．
绝对值全面分析 知识讲解
一、绝对值的意义 【例1】
在数轴上表示数 a 的点到原点的距离是 13，那么 a =
【变式练习】绝对值等于 2 的数有
个，是
【变式练习】绝对值不大于 7 且大于 4 的整数有
个，是
【例2】
下列说法正确的有（
）
①有理数的绝对值一定比 0 大； ②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等； ③互为相反数的两个数的绝对值相等； ④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数； ⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A．②④⑤⑥
B．③⑤
C．③④⑤
D．③⑤⑥ 【例3】
已知 ：
a ＞ 0 ， b ＜ 0 ， |a| ＜ |b| ＜ 1，那么以下判断正确的是（
）
A ． 1-b＞-b＞1+a＞a B ． 1+a＞a＞1-b＞-b C ． 1+a＞1-b＞a＞-b D ． 1-b＞1+a＞-b＞a
二、绝对值的化简 【例4】
计算：
3
=
，若 2 3 x ，则 x
【变式练习】若 2 2 0 x x ，则 x 的取值范围是
【变式练习】已知：
5 2 a b ， ，且 a b ；分别求 a b ， 的值
【例5】
如果有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图所示，求1 1 a b b a c c 的值.
【变式练习】已知 0 0 x z xy y z x ， ， ，那么 x z y z x y
a
b
0
c
1同步练习
【变式练习】数 , a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简 a b b a b a a
【例6】
设 a,b,c 为非零实数，且0 a a ， abab ，0 c c ．化简 ba b c b a c
【例7】
已知 a．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（
）
A．2
B．2 或 3
C．4
D．2 或 4 【例8】
已知：abc≠0，且 M=a b ca b c ，当 a，b，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当 a、b、c 都是正数时，M= ______； 当 a 、 b 、 c 中有一个负数时，则 M= ________； 当 a 、 b 、 c 中有 2 个负数时，则 M= ________； 当 a 、 b 、 c 都是负数时，M=__________ ．
三、绝对值的非负性 【例9】
若4 2 a b ，则 _______ a b 【例10】2 + 5 0 a b ，则 _______ ab
【变式练习】若73 2 2 1 02m n p ，则 2 3 _______ p n m ＋
【例11】若 21 3 0 a b ，则 a b
【例12】设 a,b 同时满足①2( 2 ) | 1| 1 a b b b ；② | 3| 0 a b ．那么 ab
【变式练习】已知2( ) 5 5 a b b b ，且 2 1 0 a b ，那么 ab ______
b 0 a
四、零点分段法 【例13】阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道 00 00x xx xx x ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式 1 2 x x 时，可令 1 0 x 和 2 0 x ，分别求得 1 2 x x ， （称 1 2 ，分别为 1 x 与 2 x 的零点值），在有理数范围内，零点值 1 x 和 2 x 可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下 3 中情况：
⑴当 1 x 时，原式 1 2 2 1 x x x
⑵当 1 2 x ≤ 时，原式 1 2 3 x x
⑶当 2 x≥ 时，原式 1 2 2 1 x x x
综上讨论，原式 2 1 13 1 22 1 2x xxx x ≤≥ 1 2 x x 的最小值为两零点之间的距离，即 1 2 x ≤ 时1 2 x x =3 为最小值
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：
⑴分别求出 2 x 和 4 x 的零点值 ⑵化简代数式 2 4 x x ，并求出最小值
五、绝对值的几何意义拓展 【例14】
mn 的几何意义是数轴上表示 m 的点与表示 n 的点之间的距离 ⑴ x 的几何意义是数轴上表示
的点与
之间的距离； x
0 x （ > ， ， < ）； ⑵ 2 1 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 2 1
； ⑶ 3 x 的几何意义是数轴上表示
的点与表示
的点之间的距离，若 3 1 x ， 则 x
． ⑷ 2 x 的几何意义是数轴上表示
的点与表示
的点之间的距离，若 2 2 x ， 则 x
． ⑸ 当 1 x 时，则 2 2 x x
【例15】
1 5 x x
的最小值为_______，此时 x 的范围为______ 【变式练习】
2 3 x x
的最小值为_______，此时 x 的范围为______ 【例16】3 2 4 x x 的最小值是_______
【变式练习】化简 1 2 m m m 的值
【变式练习】已知 m 是实数，求 2 4 6 8 m m m m 的最小值
【例17】如图所示，在一条笔直的公路上有 7 个村庄，其中 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 到城市的距离分别为 4、10、15、17、19、20 千米，而村庄 G 正好是 AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
【变式练习】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区， 7 个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在 P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？
【习题1】若 a 的绝对值是12，则 a 的值是（
）
A．2
B．-2
C．12
D．12
【习题2】若|x|=-x，则 x 一定是（
）
A．负数
B．负数或零
C．零
D．正数 【习题3】如果|x-1|=1-x，那么（
）
A．x＜1
B．x＞1
C．x≤1
D．x≥1 【习题4】若|a-3|=2，则 a+3 的值为（
）
A．5
B．8
C．5 或 1
D．8 或 4 城市G F E D C B AFEDCBPA 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1课后练习
【习题5】若 x＜2，则|x-2|+|2+x|=________________ 【习题6】绝对值小于 6 的所有整数的和与积分别是__________ 【习题7】如图所示，a．b 是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为 __________
【习题8】已知|x|=2，|y|=3，且 xy＜0，则 x+y 的值为 _________
【习题9】如图，有理数 x，y 在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________
【习题10】若 32 3 0 x y ，则yx的值是多少？
【习题11】4 x 的几何意义是数轴上表示
的点与表示
的点之间的距离，若4 2 x ，则x
．
【习题12】化简：
21 2 x x x
b a 0 -1 1y x -1 2 1 0