下面是小编为大家整理的知识梳理_平面向量数量积及应用_提高（全文）,供大家参考。
平面向量的数量积及应用
编稿：李霞 审稿：孙永钊
【考纲要求】
1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量 积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系. 2. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际
问题.
【知识网络】
平面向量数量积及应用
平面向量的数 量
平面向量的坐 标
平面向量的应 用
积
运
算
【考点梳理】
考点一、向量的数量积
1. 定义：
已知两个非零向量 a
和 b
，它们的夹角为 ，我们把数量 |
a
||
b
|
cos
叫做 a
和 b
的数量积（或内积），记作 a b ，即 a b | a || b | cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释：
（1）
两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）
在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0≤≤180.此外，由于向量具有方向性， 一定要找准 是哪个角. 2. 平面向量的数量积的几何意义
我们规定 | b | cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，当为锐角时， | b | cos 为正值；当为钝角时，
第 1
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|
b
|
cos
为负值；当 =0 时， |
b
|
cos
|
b
|
；当 =90 时， |
b
|
cos
0
；当 =180 时， |
b
|
cos
|
b
|
.
a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积. 要点诠释：
b 在 a 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0. 3. 性质：
（1）
a b a b 0
(2)
当 a
与 b
同向时，
a
b
|
a
||
b
|
；当 a
与 b
反向时，
a
b
|
a
||
b
|
.
特别地 a
a
|
a
| 2
，即 |
a
| (3)
cos
a b | a || b |
(4)
a
b
|
a
||
b
|
4. 运算律
设已知向量 a 、 b 、 c 和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1) a b b a (交换律)
(2) (a) b (a b) a (b)
(3) (a b) c a c b c 要点诠释：
①当 a 0 时，由 a b 0 不一定能推出 b 0 ，这是因为对任何一个与 a 垂直的向量 b ，都有a b 0 ；当 a 0 时， a b a c 也不一定能推出 b c ，因为由 a b a c ，得 a (b c) 0 ，即 a 与(b c) 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.
②对于实数 a, b, c ，有 (a b)c a(b c) ，但对于向量来说， (a b) c a (b c) 不一定相等，这是因为 (a b) c 表示一个与 c 共线的向量，而 a (b c) 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，所以(a b) c 与 a (b c) 不一定相等.
5. 向量的数量积的坐标运算
①已知两个非零向量 a (x , y
1 1
) ， b (x , y 2 2
) ，那么 a b x x 1 2
y y ； 1 2
第 2
页 共 9 页 a 2
x 2 y 2
1 1
x 2 y 2
1 1
AB (x
x ) 2 ( y y ) 2
2 1 2 1
.
②若 a (x, y) ，则 a a a 2
x 2 y 2 , a x 2 y 2 ；
③若 A (x , y 1 1
), B (x , y 2 2
) ， 则 AB AB (x x 2 1
) 2 ( y 2
y ) 2 ，这就是平面内两点间的距 1
离公式； ④若 a (x , y ), b (x , y
) ，则 a b a b 0 x x y y 0 1 1 2 2
6. 重要不等式
1 2 1 2
若 a (x , y ), b (x , y )
，则 |
a
||
b
| a
b
|
a
||
b
|
1 1
2 2
x x
y y 1
2 1
2
考点二、向量的应用
（1）
向量在几何中的应用
①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；
a / / b
a
b
x y
1 2
x y2 1
0
（
b
0
）
②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；
a b a b 0 x x 1 2
y y 0 1 2
③求夹角问题；
利用夹角公式：
cos cos a , b a b x x y y 1
2 1 2
| a |
| b |
x 2 y 2 x 2 y 2
平面向量 a , b 的夹角 [0， ] 1 1 2 2
④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模 a
a a 或 AB .
（2）
向量在物理中的应用 ①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】
类型一、数量积的概念
【高清课堂：平面向量的数量积及应用 401196 例 4】
例
1 1 ． 已知向量 a
(1,2), b ( 2,
4),|
c
| 5,
若 ( a
b )
c
5 , 则a与c 的夹角为（ ）
2
A．30° B．60° C．120° D．150° 【解析】∵ b 2a ，∴ a, b 是共线向量， a b (1,2) ∴
( a
b )
c
|
a
b
||
c
|
cos
a
b ,
c
5
5
cos
a
b ,
c
5
，
2
第 3
页 共 9 页 x 2 y 2
2 2
x 2 y 2
2 2
x 2 y 2
第 4 页 共 9 页
4a 2 4a b b 2
21 ∴ cos a b, c 1 ， 2
∴向量 a b 和 c 所成角为 60 0 ，又 a 与 a b 共线且方向相反， ∴向量 a 和 c 所成角为 120 0 ，从而选项C正确. 【总结升华】
a b 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到 a ， b ， a b 是共线向量，从而将
a 和 c 的夹角问题进行有效的转化. 举一反三：
【变式 1】已知向量 a 与 b 的夹角为 120°， a 1, b 3 ，则 5a b
【答案】7 【解析】
5a b 2 (5a b) 2
∴ 5a b 7 .
25a 2 10a b b 2 251 2 101 3 ( 1 ) 32
2
49 ,
【变式 2】已知 | a | 2 ,
| b | 1 , a与b 夹角为 60 0 ，则向量 m 2a b 与向量 n a 4b 的夹角的余
弦值为
.
【答案】
14
【解析】由向量的数量积的定义，得 a b | a | | b | cos 2 1 cos 60 0 1 ∵ m 2a b ， n a 4b ,
∴ | m | (2a b) 2 | n | (a 4b) 2
a 2 8a b 16b 2
2 3
设 m 与 n 的夹角为 ，则 m n (2a b)(a 4b) 2a 2 7a b 4b 2 3 ∴ cos m n 3 | m | | n | 21 2 3 14 即向量 m 与 n 的夹角的余弦值为 7 . 14
【变式 3 】两个非零向量 a 、 b 互相垂直，给出下列各式：① a b 0 ；② a b a b ；③
a b a b ；④ a 2 b 2
(a b) 2 ；⑤ (a b) (a b) 0 . 其中正确的式子有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知 a b 与 a b 长度相等，但方向不同，所以②错误；
③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在 a b 时， a b 与 a b 才互相垂直，⑤错误， 故①③④正确，故选B. 7
7
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例
2.（2022 浙江高考）已知平面向量
|
a ·
e |+|
b ·
e | 的最大值是
．
【答案】
7
a ，
b ， |
a |=1 ， |
b |=2 ，
a ·
b =1 ．若
e 为平面单位向量，则
【解析】
由 |
a |=1，| b |=2 ，
a ·
b =1
得， <
a ，
b >=60 °，不妨取a = （ 1 ， 0 ），
b = （ 1 ，
3
），设e =
（ cos θ， sin θ），
则 |
a ·
e |+|
b ·
e |=|
cos θ |+|
cos θ+
3
sin θ | ≤ |
cos θ |+|
cos θ |+
3
|
sin θ |
=2| cosθ|+ 3 | sinθ|，取等号时cosθ与 sinθ同号，
所以 2| cosθ|+ 3 | sinθ|=|2 cosθ+ 3 sinθ|= 7 | 2 cosθ+ 3 sinθ|= 7 |sin（θ+β）|， 7 7
2 3 (其中 sinβ= ，cosβ= ，取β为锐角)，显然 7 |sin（θ+β）|≤ 7 ，故所求最大值为 7 。
7 7 【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，注意结合向量坐标转换成代数运算求最值问题. 举一反三：
【变式 1】若 a 、 b 、 c 均为单位向量，且 a b 0 ， (a b) (b c) 的最大值为
【答案】
1 2
【解析】因为 a 、 b 、 c 均为单位向量，且 a b 0 ，
设 a
= （ 1 ， 0 ），
b
= （ 0 ， 1 ），
c
(cos
,sin
) ,
(a b) (b c) (1,1) (cos,1 sin ) cos 1 sin 2 sin( 故 (a b) (b c) 的最大值为 1
) 1 ,
4
【变式 2】设向量 a ， b ， c 满足 a 1 ， a b 1 ， a c, b c 60 则 c 的最大值等于（ ）
2
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】
A
【解析】由 a b 1 得 a, b 120 ，设 OA a ， OB b ， OC c ，则∠AOB=120°，
2
2 .
b
CA a c ， CB b c ，∵ a c, b c 60 ，
∴∠ACB=60°，∴O、A、C、B 四点共圆。
c 的最大值应为圆的直径 2R，在△AOB 中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以 AB 3 ，
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例 3.（2022 长沙校级二模）在△ ABC 和△ AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1，BC=6， ，若 由正弦定理得2R AB sin AOB 2 . 故选A.
【变式 3】已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE CB 的值为
;
DE DC 的最大值为
. 【答案】1；1
【解析】根据平面向量的点乘公式 DE CB DE DA | DE | | DA | cos ,可知 | DE | cos | DA | , 因此 DE CB | DA | 2 1 ; DE DC | DE | | DC | cos | DE | cos , 而 | DE | cos 就是向量
DE 在 DC 边上的射影,要想让 DE DC 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点重合,射影为 | DC | ,所以长度为 1 .
【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向.
画出示意图，有助于分析解决问题. 举一反三：
【答案】C ，则 与
的夹角的余弦值等于 ．
【解析】由题意可得 =
=
+
﹣2 • =33+1﹣2 • =36，∴ • =﹣1． 由
可得 +
=
+
+
+
=1﹣ +（﹣1）+ =
•
（
）= • =2， 故有 =4． 再由 =1×6×cos＜ ＞，可得 6×cos＜ ＞=4， ∴ cos＜ ＞= ， 【变式 1】.（2022 上海模拟）已知向量 ， 的夹角为 ，| |=1，且对任意实数x，不等式|x +2 |≥| + | 恒成立，则| |的取值范围是（ ）
A．[ ，+∞）
B ．（
， +∞ ）
C ． [1 ， +∞ ）
D ．（ 1 ， +∞ ）
【解析】由题意可得 x 2 • +4x• +4 ≥ +2 +
恒成立， 【答案】
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1 4 1 3 2 3 2 4
【高清课堂：平面向量的数量积及应用 401196 例 1】
【变式 2】已知 a 、 b 都是非零向量，且 a +3 b 与 7 a 5 b 垂直， a 4 b 与 7 a 2 b 垂直，求 a 与 b 的 夹角 。
【答案】
3
【变式 3】已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题 p : a b 1 [0, 2 ) p
: a b 1 ( 2 , ]
1
p : a b 1 3
3 [0, ) 3
2
p : a b 1 4
3 ( , ] 3 其中的真命题是（ ）
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p 【答案】
A
【解析】∵ a b 1 ，且 [0， ] ，若 a b 1 ，则 a b 2 1 ,
∴ a 2 2a b b 2
1 ，即 a b 1 ，
2
∴ cos a b | a |
| b |
a b 1 ， 2
∴ 0, 2 ；
3 若 a b 1 ，同理求得 a b 1 ，
2
∴ cos a b 1 ，∴ ( 2 3 ,
] ，故
1
， p 4
正确，应选 A.
类型二、数量积的综合应用
例
4.设向量 a (4cos ,sin ) ， b (sin , 4cos ) ， c (cos , 4sin ) .
（1）
若 a 与 b 2c 垂直，求 tan( ) 的值；
（2）
求 b c 的最大值； （3）
若 tan tan 16 ，求证：
a ∥ b .
【解析】
（1）∵ a 与 b 2c 垂直，∴ a (b 2c) a b 2a c 0 ，即 4sin( ) 8cos( ) 0 ，
∴ tan( ) 2 .
化简可得 x 2 +2| |x+ （ |3
﹣| |﹣1）≥0 恒成立，∴ △ =4 ﹣ 4 （ |3
﹣| | ﹣ 1 ）
≤ 0 ．
化简可得（ 2|
|+1 ）（ |
| ﹣ 1 ）
≥ 0 ，求得 |
| ≥ 1 ，故选：
C ．
p
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2
（2）
b c (sin cos , 4cos 4sin ) ，
b c 2
sin 2 2sin cos cos 2 16cos 2 32cos b sin 16sin 2 17 30sin cos 17 15sin 2 ，
∴ b c 2 最大值为 32，∴ b c 的最大值为 4 .
（3）
证明：由 tan tan 16 ，得 sin sin 16cos cos ，
即 4cos 4cos sin sin 0 ，故 a ∥ b . 【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说， 向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因 此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他
与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力. 举一反三：
【变式 1】已知向量 a (sin ,1),b (1,cos ), 2
．
2
（Ⅰ）若 a b ，求 ； （Ⅱ）求 | a b | 的最大值． 【解析】
（Ⅰ）若 a b ，则 sin cos 0 ， 由此得 tan 1( ) ，所以 ；
2 2 4 （Ⅱ）由 a (sin ,1),b (1,cos ), 得
| a b | (sin 1) 2 (1 cos ) 2 当 sin( ) 1 时， | a b | 取得最大值，即当 时， | a b | 最大值为 1 .
4 4 【变式
2 】已知 A 、 B 、 C
为△ ABC
的三个内角， a
= （ sinB+cosB ， cosC ）， b
= （ sinC ， sinB ― cosB ）
.
（1）
若 a b 0 ，求角A； （2）
若 a b 1 ，求 tan2A. 5
【解析】（1）由已知 a b 0 ，得 (sin B cos B)sin C cos C(sin B cos B) 0 ， 化简 sin(B C) cos(B C) 0 ，
即 sinA+cosA=0，tanA=－1. 而
A ∈（ 0 ，π），∴
A
3
4
3 2 2 sin( ) 4
2
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m OA ＋n OB (m，n∈R)，则 n 等于（ ）
A.
1
3
B．3 C.
3
3
D. 3
4
（2）∵ a b 1 ， 5
即 sin(B C) cos(B C) 1 ，
5
∴ sin A cos A 1 . ①
5
对①平方得 2sin A cos A 24 ，
25 ∵ 24 0 25 ∴ A ( 2
, ) ， sin A cos A 1 2sin A cos A 7 5 . ② 联立①②得， sin A 3 ， cos A 4 ，
5 5 2 3 ∴ tan A 3 ，∴ tan 2 A 24 .
4 1 【变式 3】已知| OA |＝1，| OB |＝ m 9 7
16 3 ， OA · OB ＝0，点 ...
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