下面是小编为大家整理的一堂“椭圆标准方程推导”示范课赏析和感悟（全文）,供大家参考。
一堂“椭圆标准方程的推导”示范课的赏析和感悟 作
者：
万福昌
作者简介：
万福昌，江苏省苏州市陆慕高级中学（215131）.
原发信息：
《中学数学月刊》(苏州)2017 年第 20174 期 第 34-37 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2017 年 07 期
2016 年 11 月 8 日下午，我校数学组邀请江苏省特级教师蔡玉书同志到校指导数学教学工作.蔡老师在高二（2）班上了一堂示范课，课题为“椭圆标准方程的推导”.我校数学教师听课后都觉得受益匪浅，蔡老师对数学的热情感染了学生，也感染了所有听课的教师.蔡老师教学风格严谨，上课风趣幽默，有很强的把握数学本质的能力，解题方法独特，在教学中善于启发学生思维，因势利导培养学生数学解题能力.
为更好地消化蔡老师示范课教育教学精髓，现实录课堂教学过程，分段进行赏析.
一、导入设计
师：世界上最美的图形——圆是怎样定义的？标准方程是什么？
生 1：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.圆的标准方程为 .
学生回答问题时，蔡老师在黑板上同时板书，板书“到定点的距离等于定长的点的集合”前预留了一定的位置.
师：你回答得很好，圆的定义要加限制条件吗？
生 2：要在平面上.
蔡老师在预留位置添加“在平面上”.
师：不加此条件，图形是什么？
生 3：球.
师：我们要将圆心置于什么位置，圆的方程可以更加简洁？
生 4：圆心在原点时，方程为 .
师：你还能将 变形得好看一点吗？
蔡老师停顿了几秒，用期待的眼神看着学生，片刻后，有几位学生举起了手.
生 5：
.
师：这和我们学习的哪种直线方程相似？
生 5：和直线的截距式方程 相似.
师：在 x 轴和 y 轴截距是多少？
生 6：在 x 轴和 y 轴截距是-r 和 r.
赏析 在短短几分钟的导入教学里，蔡老师在和学生交流时多次用了“最美的图形”、“好看一点”等词语，从中可以看出蔡老师对数学的热爱.这种热情也传递给了学生，激发了学生学习数学的热情，课堂气氛随之活跃起来.将圆的方程变形为 ，联想直线的截距式方程 ，引导学生追求形式上的简洁和统一，让学生感受到了数学的简洁美和统一美.
导入设计为椭圆方程的化简方向埋下伏笔.回顾圆的定义，不是简单的重复，而是在回顾中提升.学生回答圆的定义时少了“在平面上”这一条件，蔡老师及时加以提醒和追问，反映出蔡老师治学严谨及课堂随机应变的灵动.
二、椭圆的标准方程推导
1.推导方法 1
师：椭圆的定义是什么？
生 7：平面内与两定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫椭圆.
教师在黑板上做了椭圆轨迹形成的演示，演示过程中做几次停顿，不断地问学生：到两个定点距离和为多少？学生集体回答 2a.
师：这个图形叫椭圆，它的图形也很美.同学们想不想研究这个图形的性质？
生众：想.
师：我们要研究其图形及性质，类比圆的学习过程，你最想求出椭圆的什么？
生 8：建立直角坐标系，求出它的方程.
师：我们建立坐标系时的原点和坐标轴怎样选定？为什么？
蔡老师让学生回答了几种建系方案后，继续追问学生.
师：为什么原点要放在两定点 为端点的线段的中点？
生 9：整体看有一种对称美，后面运算可能会简单一点.
蔡老师在学生回答的同时，在黑板上画出了直角坐标系（图 1），并建系设点，接着点评.
师：上述学生建系方法，所设点 字母少，对称，纵坐标为 0，非常简洁.
师：（*）式怎么化简？
生 10：两边平方.
蔡老师要求学生在草稿纸上进行化简，并在黑板上将学生所述内容板书如下：
师：此式怎么化简？
蔡老师让学生观察这个式子的特征，片刻后，有学生举手回答.
师：你能把这个式子变得简洁一点吗？
师：确实比变化前的方程好看一点，我们还可以变得简洁一点，令，则得 ，我们把这个十分简洁的式子称为椭圆的标准方程.
蔡老师在这里用彩色粉笔进行了板书.
师：先感受一下椭圆的标准方程的特征后，回答 a，b，c 的几何含义.
生 13：a 为到两个定点距离和的一半，c 为两个定点距离的一半，.
师：椭圆的标准方程 （a＞b＞c）这个形式和我们前面学习的什么方程相似？
生 14：直线的截距式方程.
师：椭圆的标准方程 （a＞b＞c）和 x，y 轴的交点坐标是什么？
生 15：与 x 轴的交点坐标为（-a，0）和（a，0），与 y 轴的交点坐标为（0，b），（0，-b）.
师：椭圆的标准方程 （a＞b＞c）相当于是椭圆的截距式.
接着蔡老师给出焦点和焦距的定义，对推导过程进行了回顾.
师：有的同学看到了（*）式，以为平方后计算太繁，就不敢往下算了.事实上只要把握式子的特征，往前走下去，有时会“柳暗花明又一村”的.
赏析 蔡老师让学生类比学习，研究椭圆标准方程的推导方法，从多种建系方案中选择具有美感的建系方案.在化简方法上，先遵循学生的思路，直接两边平方，此法虽繁，却能较好地训练学生的计算能力.在化简过程
中，重视算法算理指导，将 当做一个整体，培养学生运用整体意识处理含字母的计算问题的能力.
蔡老师将椭圆的标准方程和直线的截距式方程比较，和圆方程 进行比较，指出椭圆标准方程相当于是椭圆的截距式方程.得出标准方程后，数形结合，让学生在图形上研究 a，b 的几何意义.与导入形成了呼应，使直线的方程、圆的方程、椭圆方程有机联系起来，形成了统一和谐的知识整体.
蔡老师在方程形式上不断追问学生“方程能再简洁一点、好看一点吗？”让学生感受到他“追求数学美”的痴迷.
2.推导方法 2
师：（*）式还可以怎样化简？
师：请同学们比较（*）式的两种化简方法，你认为哪种好？
生 17：我觉得方法 2 好.
师：你有什么体会和同学们分享，方法 2 在化简根式方程时怎样变形好？
生 18：两个根式时，等号两边各放一个根式，方程中有一个根式时，将这个根式单独放在等号一边.
蔡老师在黑板上板书：一个根号一边蹲，两个根号两边分.
赏析 方法 2 是课本给出的解法，蔡老师准确理解了编者的意图.在化简结束后给出了学生规律性的总结，用口诀的方式表达出来，学生易于掌握，学习效果好.
3.推导方法 3
师：请同学们再次观察（*）式，你能联想到什么数列知识？
生众：平方.
师：善于观察数学对象特征，充分联想有关知识，做到前呼后应，彼此贯通起来，我们学习数学时就会觉得十分有趣！
赏析 请学生再次观察等式（*），启发学生思考，联想有关数列知识，能培养学生的观察能力和发散思维.在解题时善于观察数学对象特征是解题的一个重要环节.对偶式 进行平方和运算，使学生感受到计算过程中也存在着数学美.
4.推导方法 4
师：同学们，你们再仔细想一想，数学运算中含根式的问题还能怎样处理？
生 20：换元，令 .
师：怎样去掉根号，如何把根式问题化为整式呢？
生 20：平方差.
蔡老师在图中指出 .
赏析 蔡老师引导学生先换元，再采用平方差方法进行变形，方法巧妙.蔡老师的第 4 种方法中，还得到了一个副产品——焦半径公式，为今后的进一步深入学习做了一个渗透.
5.焦点在 y 轴上的椭圆标准方程
师：如果把椭圆的焦点放在 y 轴上，椭圆标准方程是什么呢？
蔡老师在黑板上画出焦点在 y 轴上的图形.
生 21：同上面推导方法一样得到.
师：由定义可得 .对比（*）式，你们有什么发现吗？
师：x 与 y 位置互换.
师：所以焦点在 y 轴上的椭圆方程是什么？你能直接得出吗？
生 21：
.
赏析 将（**）式和（*）式放在一起，让学生便于发现 x 与 y 位置互换，即可得出焦点在 y 轴上椭圆的标准方程.通过解题过程的类比，从而得出结果来.
三、数学运用
.
师：请说出解题思路和主要过程.哪位学生来回答？
师：你回答得很好！你叫什么名字？
生 22：张兆哲.
蔡老师在学生解题思路前写上“兆哲待定系数法”，学生满堂大笑.
师：这种方法解出的 必须大于 4，否则解要舍去.这种方法的优点是容易想到，缺点是较繁.那么有没有更加简洁的方法？不妨回到椭圆的定义，看看有没有好的解法.
生 23：
，再求出 b.
师：你回答得很好！你叫什么名字？
生 23：马琪伟.
蔡老师在学生解题思路前写上“马琪伟法”，学生又满堂大笑.
师：他们两位都对这个问题进行了解答，明显地，用定义解题要比待定系数法快，希望大家今后学会用定义解题.
赏析 蔡老师重视课本习题，选择了课后练习作为例题.请学生说出解题思路，并且以学生名字命名的方法，给回答的学生很大的鼓励.
蔡老师带领学生一起回顾椭圆标准方程推导过程，进行了总结归纳，这里不再赘述.
蔡玉书老师的“椭圆标准方程的推导”示范课，导入设计精妙，推导方向是向形如直线截距式方程转化，巧用圆的方程变形作为过渡，使椭圆标准方程在形式上和两者统一起来.蔡老师充分发挥教师主导作用，启发学
生探究四种推导方法，同时也以学生为主体，将观察和思考的机会留给学生，推导的化简过程也让学生参与进来，有效地培养了学生的能力.
四、几点思考
1.数学课要有数学味
单墫老师说：“数学课首先讲数学”.本节课导入设计的内容都是数学相关知识，没有什么与数学无关的“花头”，但很有味，这种味道就是数学味.联想我们在平时教学中“情境问题的设计”的困惑，往往有很多方法，但不知选择什么方案好.听了蔡老师的课，我们有了明确的答案，就是数学化问题要优先考虑.在课堂教学中，要围绕数学问题展开教学，培养发散思维，培养学生纵横串联数学知识的能力，善于探究不同解决问题的途径，有效培养学生的数学核心素养.
2.新授课不能上成习题课
我们在高一、高二新授知识教学时，有“过急”现象，不重视知识的形成过程，而是匆匆教学新知后，就忙于例题习题教学.实际上丧失了很多培养学生数学核心素养的素材和机会.蔡老师这节课只讲了椭圆的标准方程的推导，重视知识形成过程，把重点放在了不同方法的探究上，在方法探究过程中培养学生数学解题能力.
3.教学中应以课本为本
有的教师在教学中将课本丢了，或全用课件，或用学案代替课本.当然这些运用得好，也有利于教学.但事实上，课本中就含有丰富的资源，是课堂教学中教师教和学生学的主要载体，在教学中应该倍加珍惜.蔡老师在课
堂上凭借一本教材、一支粉笔，板书清晰，图文并茂，幽默风趣，教师教得顺畅，学生学得愉快和轻松.
充分尊重课本，同时还要创造性地使用教材.我们在教学时，不能过多地使用现代化教学设备，在知识呈现时间节点上不要过快，要加强学生对数学知识的体验、感知、理解.
4.重视课本例题和习题的使用
课本习题是教材编写者精挑细选后才定下的，具有鲜明的导向性、典型性和基础性.深入探究每一道习题，充分挖掘其内在的数学思想与方法，发挥典型习题应有的功能与价值，在巩固、培养和发展学生的数学知识及数学能力上具有举足轻重的作用.课本题有多种解法，既要利用多种解法拓宽学生的视野和思维，也要指出最简便的路径，优化学生的思维.
以上是笔者对蔡玉书老师“椭圆标准方程的推导”一课的实录和赏析，并谈了几点听课后的感悟.由于个人水平有限，没有充分反映他的课堂教学精髓，还请蔡老师谅解！本文形成过程得到了吴静老师的帮助，在此表示感谢！
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