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由一道市质检试题引发的教学思考
吴雪萍 摘要：高中数学教学重视以发展学生的数学核心素养为导向，面对高三专题的试题讲评课，探讨如何提高实效，试题讲评应关注那些问题，如何充分发挥学生的学习主观能动性等，怎样以问题引领突显以生为本的教育教学理念. 关键词：试题讲评;一题多变;取值范围 1 问题提出 高三临考的复习阶段，如何提高课堂复习效率？不少教师利用市面上现有复习资料不加整合地进行复习，习惯性就题论题，没有注入太多“新鲜”内容，“炒旧饭”，照本宣科，导致学生参与度不太高，复习效果不佳. 从第一次市质检的情况来看，解三角形模块的一轮复习，效果还是不理想，如何提高高三课堂复习的教学效率？如何有效分析试卷中的典型试题？ 2 试题剖析 （2022年龙岩市3月份质检试题第17题）在csinβ=bcosC①，②2cosC-sin（-2C）=2cos2C，③SΔABC=CA·CB·sinC 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在 ΔABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 c=2. （1）求角 C; （2）求 ΔABC 周长的取值范围.
参考解答：
（1）C=，过程略; （2）思路 1：设 ΔABC 的外接圆的半径 R，由（1）及 c=2知，2R==，ΔABC 的周长 L=2R（sinA+sinB）+2=〔sinA+sin（-A）〕+2=4sin（A+）+2，因为 0Aπ，所以 A+，sin（A+）≤1，所以 L∈（4，6]. 思路 2：由（1）及余弦定理得 c2=a2+b2-ab， 所以 4=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2， 所以（a+b）2≤16，即 a+b≤4. 又 a+bc，所以 2a+b≤4，当且仅当 a=b=2 时取等号. 所以所以 L∈（4，6]. 评析：思路 1 是解三角形问题中求解取值范围的通性通法，利用正弦定理进行“边化角”或“角化边”的转化思想解决问题;思路 2 是利用余弦定理结合基本不等式得到周长的取值范围，过程相对简洁，但学生比较容易忽略“两边之和大于第三边”隐性条件. 3 思考与变式 若题干中的条件加以限制，思路 2 2 是否仍适用？为探索更为有效的试题讲评模式，笔者在任教的两个物理类平行班进行尝试：一个班就题讲完上述两种解法即进入下一道题的讲解，另外一个班在分析总结后作了一题多变的尝试. 变式 1 1 ：条件改为 “ 锐角三角形 ” ，其余不变，如何求解？
思路 1：锐角 ΔABC 的周长 L=2R（sinA+sinB）+2=4sin（A+）+2 因为 0A，0-A，所以 A，则 A+，得 sin（A+）≤1，从而 L∈（2+2，6]. 思路 2：由（1）及余弦定理得 c2=a2+b2-ab，4=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2，所以（a+b）2≤16，a+b≤4. 利用运动的观点，满足题意的点 C 落在圆弧 DCE 上（不含 D，E 两点），点 C 在 D 点，E 位置时（此时为直角三角形）为临界情况（如图 1），从而求得 a+b+c=2+2. 综上，L∈（2+2，6]. 变式 2：条件不变，问题改为“求 ΔABC 面积的取值范围.” 思路：依题意得面積 S=ab，由余弦定理得 4=a2+b2-ab≥ab，从而 S=ab≤. 另一方面，从运动的观点可知点 C 落在优弧 AB 上（不含 A，B 两点），且点 C 落在以 AB 为中垂线的直线与优弧 AB 相交处时（如图 2），三角形面积取得最大值，当点 C 无限逼近 A （或）B 点时，面积趋近于 0，从而 ΔABC 面积的取值范围为（0，）. 评析：利用基本不等式比较快速地求得面积的最大值，但如何求最小值以及是否有最小值，对于学生来说是一个难点.当然，也可以利用正弦定理，将面积表示为 S=ab=sinAsinB，进一步利用二倍角、辅助角公式等化简为 S=+sin（2A-），再根据角 A 的范围求解.
变式 3：条件不变，问题改为“求 sinAsinB 的取值范围.” 思路：利用正弦定理===2R 得 sinAsinB=ab，从而问题转化为变式 2 来处理. 变式 4：条件不变，问题改为“求 a2+b2 的取值范围.” 思路：由正弦定理可得 a2+b2=（sin2A+sin2B）=-〔cos2A+cos（2A+）〕=-sin（2A-），再结合角 A 的范围求解. 同样地，也可以利用基本不等式 ab≤求解. 变式 5：条件不变，问题改为“求 cosA+cosB+cosC 的取值范围.” 思路：cosA+cosB+cosC=cosA+cos（-A）+=+sin（A+），结合A 的范围求解 ab. 变式 6：条件改为“C=，b=2”，其余不变. 思路：由正弦定理得 ΔABC 的周长 L=2+a+c=2++=2++=3+，由B（0，）可得 tan（0，），从而周长 L 的取值范围为（4+∞）. 为了测评以上讲评方式的有效性，第二天选取了几道类似高考真题进行课堂小测，结果发现，进行变式教学的班级明显好于另一个班级，达到了预期的目的，即充分调动学生的课堂积极性，逐步提高学生发现、研究并解决数学问题的能力. 题源 1 在 ΔABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且bcosA+acosB=ac. （1）求 a 的值; （2）若 A=，求 ΔABC 的周长的最大值.
题源 2（2022 年全国新课标卷Ⅲ·理 18，文 18）
ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 asin=bsinA. （1）求 B; （2）若为 ΔABC 为锐角三角形，且 c=1，求 ΔABC 面积的取值范围. 题源 3（2022 年全国新课标卷Ⅱ·理 17）
ΔABC 中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC. （1）求 A; （2）若 BC=3，，求 ΔABC 周长的最大值 研究历年高考真题会发现，高考中曾多次考查有关这类解三角形中涉及取值范围的问题，例如 2022 年浙江卷理科第 17题（文科第 18 题）“求的最大值”、2022 年全国卷Ⅱ理科第 17 题（文科第 18 题）“求 ΔABC 周长的最大值”、2022年新课标卷Ⅱ理科第 17 题“求 ΔABC 面积的最大值”、2022年新课标卷Ⅰ理科第 16 题“求 ΔABC 面积的最大值”等. 4 教学建议 4.1 数学试题讲评应注重归纳整合 复习课是数学课重要的课型，如何开展复习专题试题讲评是每位教师重点关注的.笔者认为，讲评后应注重试题的归纳整合，把同类型题目整合在一起形成专题，针对学生的易错点、重点难点进行讲评更为合理有效. 4.2 数学试题讲评应注重一题多解、一题多变及多题归一
《高中数学课程标准（2022 年版）》提到，高中数学课程面向全体学生，实现：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展[1].针对典例，教师应深入剖析问题，再从不同角度引导学生获得不同解法，既能拓宽学生的思维，又能巩固应用所学数学知识解决问题，同时让不同层次学生均有不同收获.进一步地，教师可以尝试对典型试题加以变式，使得学生对试题有更深入的认识、理解与掌握，从而获取并积累一定的解题经验. 4.3 数学试题讲评应注重拓展延伸 在一题多解、一题多变的基础上，教师需要通过对试题的深入思考，挖掘出一些隐性知识从而对问题进行拓展延伸，让学生真正感受到触类旁通、多题归一，促进学生试题讲评过程中思想品质得到提升. 4.4 数学试题讲评应发挥学生的主观能动性 对于数学的学习，《高中数学课程标准（2022 年版）》提倡獨立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式.教师讲评试题时，应积极发挥学生的主观能动性，获知学生的解题思路，暴露学生的思维过程，在此基础上引导学生积极参与，独立思考，交流中获得自然、合理的解题方法，而不是把自己的思路硬抛给学生.课堂教学只有坚持“以人为本，以生为本”，重视教学中学生思维发展的过程，才能较好地发挥数学的育人价值，促进学生的思维理性，提升学生的数学素养.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2022 年版 2022 年修订）[S].北京：人民教育出版社，2022.
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