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数学《用圆柱的体积解决问题》教学预案（详案）
备课 类型 详案 设计教师 张海娜 上课 课题 用圆柱的体积解决问题 课时 人教版教材六年级下册第三单元P27 例 7 上课时间
教材 与 学情 分析 教材分析：
本节课教学的例 7 呈现了一个装了小半瓶水的矿泉水瓶，下部是圆柱形，而上部是一个不规则的立体图形。教材给出了瓶子平置时的水的高度，要求出这个瓶子的容积。这样的问题不是学生常见的常规问题，看似无处着手，也促使学生发现和解决问题。所以，教学中我采用小组合作学习，引导学生通过发现水瓶倒置前后，水的体积不变，无水部分（即空气）的体积也不变。而瓶子的容积就是水的体积与空气的体积之和。倒置时，水的体积是一个圆柱，而倒置后，空气的形状是一个圆柱，这两个圆柱的体积之和就是瓶子的容积。
通过把不规则形状的体积转化成规则形状，把未知知识转化成已学知识，发现转化过程中“变”与“不变”，提高学生分析问题和解决问题的能力。
学情分析：
由于学生通过学习已经掌握了圆柱体积和容积的计算方法，并具有一定的分析问题和解决问题的能力，因此在本节课的教学中，学生在教师适当的引导中让学生在动手操作中经历探究不规则物体体积的转化，初步建立“转化”的数学思想，体验“等积变形”的转化过程。并借助实物演示，培养学生抽象、概括的思维能力。
学习目标 l.使学生熟练运用圆柱的体积计算公式解决实际问题，结合具体情境，探究不规则的圆柱容器的容积的计算方法。
2.让学生经历观察思考、分析综合的数学活动过程，发展合情推理能力和演绎推理能力，并在解决问题的过程中体会转化、推理和变中有不变的数学思想。
3．体验数学的探究性和挑战性，在数学探究过程中获得成功的喜悦。
学习 重点 难点 学习重点：利用所学知识合理灵活地分析、解决不规则物体的体积的计算方法；培养问题意识，体会转化思想。
学习难点：通过实践操作、合作交流，体会转化的数学思想，理解转化前后的沟通。
教学 准备 每组一个矿泉水瓶（课前统一搜集农夫山泉矿泉水瓶，装有适量清水，水高度分别为 6、7、8、9 厘米），直尺。
预设 流程 （一）复习旧知，做好铺垫 1．板书：圆柱的体积。
师：圆柱的体积怎么计算？体积和容积有什么区别？ 2．揭题：这节课，我们要根据这些体积和容积的知识来解决生活中的实际问题。（板书：用圆柱的体积解决问题）
（二）探索实践，体验转化过程 1．创设情境，提出问题。
师：原本这是一瓶装满水的矿泉水，已经喝了一部分，你能根据它来提一个数学问题吗？（随机板书）
预设 1：瓶子剩下多少水？ 预设 2；喝了多少水？ 预设 3：这个瓶子一共能装多少水？（也就是这个瓶子的容积是多少？）
预设 4：喝的水多还是剩下的水多？ 2．你觉得你能轻松解决什么问题？ （1）预设 1：瓶子有多少水？（怎么解决？）
学生：瓶子里剩下的水呈圆柱状，只要量出这个圆柱的底面直径和高就能算出它的体积。
教师：需要用到什么工具？（直尺）你想利用直尺得到哪些数据？（底面直径、水的高度）
小结：知道了底面直径和水的高度，要解决这个问题的确轻而易举。请你准备好直尺，或许等会儿有用哦！
（2）预设 2：喝了多少水？ 学生：喝掉部分的形状是不规则，没有办法计算。
教师：当物体形状不规则时，我们想求出它的体积可以怎么办？ 教师相机引导：能否将空气部分变成一个规则的立体图形呢？ 学生能说出方法更好，不能说出则引导：我们不妨把瓶子倒过来看看，你发现了什么？ 课件出示：
引导学生发现：在瓶子倒置前后，水的体积不变，空气的体积不变，因此，喝了多少水=倒置后空气部分的体积，倒置后空气部分是一个圆柱，要求出它的体积需要哪些数据？（倒置后空气的高度）
小结：这个方法不错，我们利用水的流动性成功地将不规则的空气部分转化成了一个圆柱体，得到所需数据后能求出它的体积。这样一来，第 3 个问题还难得到你吗？ （3）怎么求这个矿泉水瓶的容积？ 预设：①求倒置前水的体积 ②倒置后空气的体积 ③瓶子容积=求倒置前水的体积+倒置后空气的体积 【设计意图】课本中的例题呈现如下：
例题是直接呈现转化方法的，我是想先屏蔽相关数据信息和方法，通过激发学生解决问题的内在需求，根据自己的生活学习经验来想办法解决，才有了对数学情境的改编，以期通过转化、观察、对比，让学生发现倒置前后两部分立体图形之间的相同点，沟通两部分体积之间的内在联系，顺利地把新知转化为旧知，分散了难点，从而找到解决问题的方法。
3． 学习活动一：初步利用转化的方法，计算瓶子的容积。
小组学习提示：
1. 一个内直径是（
）的瓶子里，水的高度是（
），把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是（
）。这个瓶子的容积是多少？（测量时取整厘米数）
2. 组长安排好分工：
要量出所需数据，其他组员要监督好测量方法与结果是否正确，要按要求把题目填完整。
3. 组内互相说一说：倒置前后哪两部分的体积不变？ 矿泉水瓶的容积=（
）＋（
）。
4. 做好以上准备工作后，利用所得数据独立计算，再组内校对结果是否正确。
【设计意图】这一环节让学生大胆东水操作，在实践中不断发现问题、解决问题，在同伴的交流中拓展自己的思维，让学生在合作中建立协作的精神。
5. 交流反馈。
预设 1：瓶中水高度为 6 厘米的：
3.14×(6÷2) 2 ×6+3.14×(6÷2) 2 ×13 =3.14×9×(6+13) ≈537（毫升）。
:预设 2：瓶中水高度为 7 厘米的：
3.14×(6÷2) 2 ×7+3.14×(6÷2) 2 ×12 =3.14×9×(7+12) ≈537（毫升）。
预设 3：瓶中水高度为 8 厘米的：
3.14×(6÷2) 2 ×8+3.14×(6÷2) 2 ×11 =3.14×9×(8+11) ≈537（毫升）。
预设 4：瓶中水高度为 9 厘米的：
3.14×(6÷2) 2 ×9+3.14×(6÷2) 2 ×10 =3.14×9×(9+10) ≈537（毫升）。
教师：出示事先准备好的矿泉水瓶的标签，上面写着净含量为 550 毫升，基本符合。
6．回顾与反思。
师：刚才我们是怎样解决问题的？
小结：根据具体情况选择合适的转化方法，像这样不规则立体图形的体积可以转化为规则的立体图形来计算。
【设计意图】通过回顾解决问题的过程，帮助学生把本环节的数学活动经验进行总结，引导学生在后续的学习中碰到相似的问题也可同样利用转化的思想来解决。
（三）练习巩固，学以致用 1．数学书 P27 做一做。
（1）学生独立思考，解决问题。
（2）把自己的想法与同桌说一说。
（3）交流反馈：重点交流如何转化，倒置后哪两部分体积不变？ 2．输液 100 毫升，每分钟输 2.5 毫升，请观察第 12 分钟时吊瓶图像中的数据。问整个吊瓶的容积是多少毫升？
（1）请学生计算，并反馈订正。
（2）反馈要点：
整个吊瓶容积=图像中空气部分的容积+还剩下液体的体积。
根据图象，可以得出在第 12 分钟吊瓶有 80 毫升是空的。
剩下液体的体积=100-2.5×12=70（毫升）。
即整个吊瓶容积=80+70=150（毫升）。
【设计意图】从生活中常见的吊瓶问题引出，感受数学与生活的密切联系，能根据图像提取解决问题的有效信息 ，既提升了所学知识，又关注了学生的思考，培
养学生的分析、解决问题能力。
学习活动二：在实际问题中利用转化的方法解决问题 课件出示：
如下图，一个底面周长为 9.42 厘米的圆柱体，从中间斜着截去一段后，它的体积是多少？
（1）思考：这是一个不规则的立体图形，要求它的体积，它不能像瓶子里的水一样可以流动变形转化，怎么办？ （2）讨论方法：
预设 1：重叠。
假设把两个大小一样的斜截体拼成一个底面周长为 9.42 厘米，高为（4+6）厘米的圆柱，这个立体图形的体积是新圆柱体积的一半。
预设 2：切割。
把这个立体图形分为两部分，下面是一个底面周长为 9.42 厘米，高为 4 厘米的圆柱体，上面是一个高为（6-4）厘米的圆柱斜截体，且体积是高为（6-4）厘米的圆柱体积的一半。
（3）用自己认可的方法计算，并进行反馈。
预设 1：3.14×(9.42÷3.14÷2) 2 ×10÷2=35.325（立方厘米）。
预设 2: 3.14×(9.42÷3.14÷2) 2 ×4+3.14×(9.42÷3.14÷2) 2 ×2÷2=35.325（立方厘米）。
（4）反馈小结：可以有不同的转化方法来解决问题。
（四）全课总结，提升认识 教师：回忆一下，今天这节课有什么收获？ 教师和学生共同小结：求不规则的立体图形的体积可以将它转化成为规则的立体图形，这节课我们主要是将不规则的立体图形转化成为圆柱，用圆柱的体积计算方法来解决问题。
在解决问题时，主要要弄清楚转化前后两部分之间的关系。
【设计意图】通过小结，让学生自主地对回顾本课所学知识进行梳理总结，通过
归纳与提炼，让学生明确转化思想在数学学习中的重要性。
作业 设计 1.填空。
一个长 5cm，宽为 3cm 的长方形，以长为轴旋转一周，将会得到一个底面直径是(
)cm，高为(
)cm 的(
)体，它的体积是(
)
2.一个圆柱形水槽，底面半径是 8cm，水槽中完全浸没着一块铁件，当铁件取出时，水面下降了 5cm。这块铁件的体积是多少立方厘米?
3.一个圆柱体的高增加 2cm，圆柱的表面积就增加了 25.12cm。已知原来圆柱的高是 15cm，原来圆柱的体积是多少? 板书 设计
用圆柱的体积解决问题 将不规则物体
转化成
规则的物体
新知
转化成
旧知