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基于 Contourlet 的同态滤波算法在图像增强中的研究
摘要：
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Contourlet 变换具有多分辨率、多方向性、局部化、临界采样、各向异性等许多优良特性。本文通过比较 Contourlet 变换与 FFT、小波变换在图像处理中各自的优劣,并提出一种改进的基于 Contourlet 变换的同态滤波算法。
关键词 ：Contourlet 变换；图像增强；小波变换；同态滤波; FFT Study of homomorphic filtering algorithm in image enhancement based on Contourlet Abstract: Contourlet transform have multi-resolution, multi-direction, localization, the critical sampling, anisotropy of many excellent properties.This paper compare with Contourlet and FFT transform, wavelet transform in image processing by the respective merits, then put forward an improved homomorphic filtering algorithm based on Contourlet transform. Keywords:Contourlet transform; image enhancement; wavelet transform; Homomorphic filtering;FFT
图像增强是数字图像处理中非常重要的一个环节,近年来已经成为国内外图像界研究的热点问题之一,它的研究成果正被广泛地应用到各个领域。目前，图像增强的方法分为空域处理和频域处理两大类。空域处理是在原图像上直接进行数据运算，常见的处理方法有：线性拉伸、直方图均衡化等；频域处理方法主要有基于傅里叶变换的算法、基于小波变换的算法等。在保持图像细节信息和较高的分辨率基础上,再进一步提高图像的视感质量,这对图像的有效应用意义重大.
文献[5]中采用基于小波变换的同态滤波算法进行论证，所提出方法可有效地消除光照不均带来的影响，特别是图像的边缘附近局部对比度得到一定增强，但其算法实现时间过长；文献[8]中直接以 contourlet 频域变换来增强图像,该方法使图像在视觉特性等方面达到了较好的效果，但其并未将 contourlet 变换引入到同态滤波算法中，使图像在细节方面有所损失。
1 频域的图像增强 在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像的梯度大小。空域是基于模板操作，每次只是基于部分像素的性质；而频域利用图像中所有像素的数据，具有全局性质，更好地体现图像的整体特征. 常见的频域图像增强滤波器有低通和高通、巴特沃思低通、同态滤波等。其中高通、低通滤波器主要是应用频域的传递函数,减少低频或高频分量,实现增强；巴特沃思低通滤波可以减少模糊程度和振铃现像, 去除虚假轮廓；同态滤波能消除乘性噪声,同时压缩图像的整体动态范围,并增加图像中相邻区域间的对比度.
频域法是一种间接处理方法，通过先在图像的频域中对图像的变换值进行操作，然后变回空域，以此增强图像. 通常的频域变换都采用傅里叶变换为基础，设函数 f(x,y)与线性移位不变算子 h(x,y)的卷积结果是 g(x, y)
即 g(x, y) = h(x, y) * f (x, y)
（1）
则根据卷积定理在频域有：
G(u, v)=H(u, v)F(u, v)
（2）
式中 G(u, v)是处理后图像的傅里叶变换; H(u, v)为频域滤波函数(传递函数 H);F(u, v)为原图像的傅里叶变换（频域）；在具体增强应用中，f (x, y)是给定的（所以 F(u, v)可利用傅里叶变换得到），需要设计是滤波器函数 H(u,v)，而复原图像函数g(x,y)，就可由式 ( , )
( , ) ( , ) g x y IDFT H u v F u v 得到. 2 基于 FFT 及小波变换的同态滤波算法
2.1 基于 FFT 同态滤波算法 同态滤波是把频率过滤和灰度变换结合起来的一种图像处理方法，它依靠图像的照度/ 反射率模型作为频域处理的基础，利用压缩亮度范围和增强对比度来改善图像的质量。使用这种方法可以使图像处理符合人眼对于亮度响应的非线性特性，避免了直接对图像进行傅立叶变换处理的失真[1] 。
在照明-反射模型中,图像可以表示为照明分量与反射分量的乘积形式: f(x,y)=i(x,y)*r(x,y)
（3）
式 中 0< i(x,y)< , 0<r(x,y) <1 , i(x,y) 是入射到景物上的光强度,表示了图像亮度大小,它反映灰度恒定分量;而r(x,y) 是
受到景物的光强度,有物体性质决定, 因为一般 i(x,y) 在空间缓慢变化,而r(x,y) 在不同物体的交界两侧变化很快,所以i(x,y) 对应于频域的低频部分，而r(x,y) 对应于高频部分。对于照明不均匀的图像的处理，就是要尽量削减入射光分量的影响，即压制图像的低频分量，同时增强物体的反射光分量，即放大图像的高频分量。
通过分别处理照度和反射率对像元灰度值的影响，达到揭示阴影区细节特征的目的。
众所周知，在频率空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。假如一个图像尺寸为M N ，则 ( , ) f x y 函数的离散傅立叶变换由以下等式给出：
（4）
上式 中 v
u 01 2 N 1 ，，，
基于 FFT 传统同态滤波的过程如图 1 所示。
图 1 传统同态滤波算法框图 在传统的同态滤波算法中图像能否达到预期的增强效果取决于同态滤波函数 H(u,v)的选择。H(u,v)可以分别作用于入射分量和反射分量这样可以设计一个对高频和低频分量影响不同的 H(u,v)。算法中影响速度的步骤是 FFT 和 IFFT，因此运算时间只与图像的大小有关与其它因 素 无 关 。
一 般 选 择Butterworth 高通滤波器(BHPF)为 H(u,v)。
（5）
上式中0D为截止频率到原点的距离，D(u,v)表示点(u,v)到原点的距离，其表达式如下：
2 2D(u,v)= u v
（6）
基于 FFT 的传统同态滤波是一种特殊的频域滤波技术,其优点是可以压缩图像灰度的动态范围,同时增强对比度。算法的缺点有三个：第一要需要对完整的图像处理结束后才能看到效果；第二，FFT 运算要扩展到复数域而需占用较多的运算空间；第三，进行 FFT 和 IFFT 运算要花较长的时间[5] 。
2.2 基于小波的同态滤波算法 相对傅立叶变换,小波变化具有空域和频域”变焦距”特性.信号经过一维小波分解后,其各个层次分别对应于不同的频率和分辨率,形成了多分辨率的塔式结构,而相应的小波逆变换可完成信号逆变换.一维小波变化可以通过张量积推广到二Z(x,y) Z(u,v) S(u,v) S(x,y) g(x,y) 201H(u,v)=1+0.414[D / ( , )]nD u v1 12 ( )0 01( , ) ( , )ux vyM NjM Nx yF u v f x y eMN u 01 2 M 1 ，，， ；ln FFT H(u,v) IFFT exp f(x,y)
维图像,即分别对图像的水平和垂直方向进行小波变换,得到 3个有方向选择性高频带和 1 个低频带. 小波变换用于图像增强的原理是:对小波变换后的低频,次低频,次高频以及高频等子块以不同的增强系数进行处理,再进行小波逆变换之后,就可以达到图像增强的目的。对低频子块以大于 1 的增强系数相乘,则可以提高图像的总体亮度,对其它子块进行增强,则可以增强图像的细节信息,由此可以获得清晰化的图像效果。而当进行小波变换之后,噪声信息大多集中在次低频,次高频以及高频子块之中。进行小波变换之后,将高频子块置为 0,则可以达到一定的噪声去除以得到图像增强的效果[6] 。
经典同态滤波算法中使用的是傅立叶变换,其具有较高的频域分辨率但其空间分辨率较低。因此经典算法是从图像的整体角度对光照不均匀进行修正但它不能考虑图像的空域局部特性在局部对比度增强上效果不理想。文献 [5]是将经典算法中FFT和IFFT换成小波分解和小波重构就得到了基于小波分析的同态滤波。
文献[5]中采用如下的同态滤波函数对其系数进行增强:
（7）
j=1,2,3,n 是分解级数, 2j是分辨率, ck 是截止系数, hw和vw 分别被称为水平权值和垂直权值系数, h vH(j,w ,w ) 可作为LHj,HLj,HH j 区域的小波系数的增强倍数。
对 LLn 上的系数进行线性调整来修正图像的亮度不匀称性。作为增强后的 LLn 层小波系数HLLn:HLLn=k(x-m)+m, 表 达 式k(x-m)+m完成LLn系数的线性均衡;x 代表 LL n 区上的小波系数;m代表LLn区上的小波系数的平均值;对比度调节因子 k 满足0<k<1。当 k=1 时,图像的高频细节得到了一定的增强,但整个空域范围内的光照不均匀仍很明显,其优点是较好地保留了原始图像的原始面貌。当 k=0 时,整个空域范围内的光照不均匀基本得到消除,但图像的原始面貌改变较大,这是因为 LLn 中包含的低频信息全部被消除,而这些低频信息并不完全是由光照不均形成的。在 0<k<1 范围内选择适合的 k,达到图像局部对比度增强效果和保持图像原始面貌的均衡。
3 基于 Contourlet 的同态滤波算法
基于傅里叶变换的算法会造成细节信息损失，基于小波变换的增强方法通过在变换域中对小波系数进行处理，增强图像部分细节的同时有效地抑制了图像噪声。但是由一维小波张成的二维可分离小波基只有有限的方向，不能很好地表示图像中的h v12 2 221H(j,w ,w )=( 2 1)( ) /2 )j nh v cw w k 输入图像
方向信息，细节信息的增强明显不足。
3.1 Contourlet 变换原理 Do 和 Vetterli 在继承小波多尺度分析思想的基础上提出一种新的非自适应的方向多尺度分析方法——Contourlet 变换。contourlet 变换是一种真正意义上的图像二维表示方法,具有良好的多分辨率、局部化和方向性等优良特性。它将小波的优点延伸到高维空间,能够更好地刻画高维信息的特性,更适合处理具有超平面奇异性的信息。
contourlet 变换可以分为两个独立的步骤 : (l) 使 用 LP 滤 波 器(Iaplaeian pyramid
Filters)对原图像进行子带分解 ,以捕获二维图像信号中存在的点奇异。
(2) 使 用 方 向 滤 波 器 组(Directional Filter Bank DFB )进 行 方 向 变 换 (Directional Transform,DT)。
图 2
Contourlet 变换流程 通过图 2 可以看出：二维方向滤波器组(DFB)应用于 LP 分解得到的每一级高频分量上，在任意尺度上可分解得到 2 的 n 次方数目的方向子带。图像每次经 LP子带分解产生的高通子带输入DFB，逐渐将点奇异连成线形结构，从而捕获图像中的轮廓。在小波分解中，每级分解的子带个数是固定的，通常只有水平、垂直和对角线 3 个方向的子带．而在 Contourlet 分解中，每级中的方向子带个数都是 2 的指数倍，并且子带个 数 是 可 变的．
3.2 改进的同态滤波算法 在图像增强领域中，经典基于傅里叶变换的算法在细节信息保持方面的有所欠缺，而小波变换中有限的方向子带也会导致大量细节信息的损失。基于此本文提出一种基于 Contourlet变换的同态滤波算法，其实现框图如图 3 所示。
图 3 Contourlet 变换的同态滤波算法流程 本文改进的滤波算法具体描述如下：
（1）对原图像( , ) f x y取对数，目的是使得图像模型中的乘法运算转化为简单的加法运算，根据式（3）可得：
（8）
（ 2 ）
对 上 一 步 对 数 函 数 做Contourlet 变换，其结果是将图像从空域转换到频域：
( ( , )) [ln ( , )] [ln ( , )] C z x y C i x y C r x y ( , ) ln ( , ) ln ( , ) ln ( , ) z x y f x y i x y r x y ( , ) exp ( , ) exp ( , ) exp ( , ) f i rg x y h x y h x y h x y ln CT H(u,v) ICT exp f(x,y) Z(x,y) Z(u,v) S(u,v) S(x,y) g(x,y) (2,2)
即 ZI R ， （3）选择合适的滤波函数，压缩照射分量( , ) i x y的变化范围即削弱 ，增强反射分量( , ) r x y的对比度即提升 ，增强高频分量。
（9）
式中( , ) S u v是 Contourlet 变换的值被同态滤波器函数( , ) H u v处理的结果。
（ 4 ）
对 上 式( , ) S u v进 行Contourlet 逆变换，如下式：
1( , ) ( ( , )) s x y F S u v
（10）
（5）对( , ) s x y取指数即得到最终处理结果：
（11）
图像照射分量通常以空间域的慢变化为特征，而反射分量往往引起突变，特别在不同物体的连接部分。这些特性导致图像对数的 Contourlet 变换的低频成分与照度相联系，而高频成分与反射联系在一起。虽然这些联系只是大体上的近似，但它们用于图像增强对是有益的。
4 仿真实现 同态滤波器增强图像对比度和压缩图像亮度范围，突出我们所感兴趣的高频部分，所以它是用来处理灰暗的图像的好工具，削弱低频部分，并增加高频部分，达到光照补偿的效果。
首先用一种定性的方法来衡量经过处理后图像质量即用人眼直接观察图像的效果。
本文以 eight.tif 图像为例进行效果对比，仿真实验中传递函数采用高斯滤波器，控制滤波器函数斜面的锐化参数取为 0.5，高频增益为 2，低频增益为 0.4。分别采用傅里叶变换、小波变换以及 contourlet 变换 3 种方式对图像进行增强处理。应用 matlab软件 7.0 环境仿真实现了以上几种同态滤波算法,仿真结果如图 4所示。
(a)原图
（b）基于傅里叶变换
（c）基于小波变换
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) S u v H u v Z u v H u v I u v H u v R u v
（d）基于 contourlet 变换 图 4 eight.tif 图中三种方法图像增强效果 通过直观，图 4 中(b)、(c)、(d)等基于三种变换的同态滤波器的处理结果基本均可使图像的对比度得到改观，细节得以增强，然而采用 contourlet 变换的图 4-(d)是使图像亮度最为均匀，有效地消除了光照不均带来的影响,特别是处理后的图像局部对比度增强效果明显,同时较好地保持了图像的原始面貌...