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技术与课题相融：让研究性学习从可行到高效 ————《三角函数的叠加》教学实践与评析 作
者：
付有亮/卓斌
作者简介：
付有亮，南京师范大学附属中学（210003）；卓斌，江苏省宿迁市教育局教研室（223800）.
原发信息：
《教育研究与评论：中学教育教学版》(南京)2015 年第20154 期 第 27-33 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2015 年 08 期
【教学实践】
在江苏省教育学会中学数学教学专业委员会 2015 年学术年会上，笔者借助几何画板和平板电脑，开设了一节研究性学习课：《三角函数的叠加》.
一、教学思考
苏教版高中数学教材必修 4《三角函数》一章，在研究了函数y=sinx，y=cosx 的图象和基本性质后，从图形变换的角度进一步研究了更复杂、更一般化的函数 y=Asin（x+φ）的图象，并由此得到这一函数的基本性质；然后，便结合案例介绍了函数 y=Asin（ωx+φ）的应用价值.但是，在教学的过程中，笔者发现，在沿着这一线索学习与思考时，很
多学生自然地想到并希望研究由 y=Asin（ωx+φ）构成、比 y=Asin（ωx+φ）复杂的函数的图象与性质，并认识它们的价值.
鉴于新课程倡导“研究性学习”和“用教材教”，笔者便思考此处有没有合适的教学内容和相应的教学价值.看到教材的“Excel”和“阅读”栏目中提到的关于“三角函数的叠加”的内容后，笔者获得了教学的灵感.研究“三角函数的叠加”是研究“y=Asin（ωx+φ）的图象与性质”的自然延伸.这一内容有一定的复杂性，对高中生而言，难以得到一般性较强的确定结论，更不用说进行严密的推理论证.但是，借助几何画板，从特殊情况、从图象入手进行研究，还是可以让学生一窥其中的奥秘，获得知识的收获，更重要的是，可以渗透类比、归纳等合情推理的方法以及简化、转化、摸索、尝试、猜想、求证等科学探究的思路.
于是，笔者拟定了如下教学内容与目标：（1）以 g（x）=sinAx+cosBx 为例，借助几何画板和平板电脑，画出三角函数叠加后的图象，观察、分析其周期性、最值等；（2）运用类比推理和归纳推理等思维方式，获得“三角函数的叠加”的研究方法和结论猜想，并尝试探究其数学原理；（3）了解“三角函数的叠加”背后的数学文化，激发学习兴趣，获得价值认识.
二、教学过程
（一）提出问题
生 y=sinx+cosx？
师 是的.但它过于特殊，而且可以化为 y=Asin（ωx+φ）的形式.那么，你觉得怎样的两个三角函数叠加，既比较一般化，又参数不过多，而且不能化为 y=Asin（ωx+φ）+B 的形式？
（学生思考、讨论.）
生 应该给 y=sinx+cosx 中的两个三角函数加上不一样的周期参数.
（教师课件出示本课任务：研究函数 g（x）=sinAx+cosBx 的性质.）
师 注意 A≠B，AB≠0.
[设计意图：从熟悉的三角函数谈起，自然地引出本课研究的内容.同时，不贪多求快，只研究两个关键参数对函数性质的影响，从而把复杂问题简单化、特殊化，找到研究的入手点，体现从简单到复杂、从特殊到一般的研究问题的数学思维方式.]
（二）制订方案
（教师课件出示问题 1：你打算如何研究函数 g（x）=sinAx+cosBx的性质呢？）
师 不方便利用公式化为 y=Asin（ωx+φ）+B 的形式了，怎么办？我们之前研究函数的一般方法是什么？
生 画出图象，观察和分析特征，验证和证明性质.
师 没错！不能转化为熟悉的函数，就只能老老实实地从头开始研究.画函数图象的一般过程是什么？
生 列表、描点、连线.
师 是的.不过，该函数比较复杂，这里我们必须借助于几何画板来处理.
（教师课件出示问题 2：该函数中含有两个参数，你准备怎样处理？）
师 用计算机来画图，一样有列表、描点、连线的过程，一样要计算出一系列对应值.可是这里却有讨厌的不确定的参变量，怎么办？
生 对两个参数选择几组特殊值代入.
师 很好！我们研究指数函数和对数函数的时候就是这么做的.研究函数的一般方法还包括：从特殊函数入手得到结论，尝试一般化.
生 保持一个参数不变，另一个参数变化.
师 不错.你懂得充分利用几何画板的功能和优势——让图象动起来.那么，你觉得如何选取参数的特殊值，容易发现该函数的一般性质？
生 在一定的区间内连续地取值.
生 在正整数范围内取值.
师 都是不错的方法.不过，具体结果如何，可能要尝试了才知道.
（教师课件出示问题 3：有了函数图象之后，类比以前的研究经验，你会观察该函数哪些方面的性质呢？）
生 研究一般函数的性质，如三要素、最值、单调性、奇偶性、周期性等.
师 这些就是我们前面学习过的函数的主要性质.不过，能否全部地研究这些性质，还要看函数的图象到底是什么样子的.
[设计意图：在学生进行研究活动之前，要制订好研究方案，即引导学生思考研究的方法和目标.当然，这样做不仅为本课研究“三角函数的叠加”，还为以后研究其他函数，揭示了研究的一般过程及方法，提供了类比推理的范例.]
（三）“实验”猜想
师 明确了学习任务和研究方法后，请大家开始在平板电脑上作图观察，提出猜想.在活动中，每位同学都要先独立思考，再小组讨论；然后，每组选择一位代表汇报成果，其他同学协助操作软件.
（学生利用平板电脑操作、观察，并汇报成果.教师借助网络平台，直接选取、展示学生所作的图象——部分图象如图 1、2 所示.通过教师的引导和全班的讨论，对于函数 g（x）=sinAx+cosBx 的性质，学生达成共识：（1）定义域为 R；（2）值域是[-2，2]的子集；（3）单调性情况较为复杂；（4）是非奇非偶函数；（5）一般具有周期性，但不能肯定.）
师 我们观察和分析了不少函数的图象，并总结出了一些较为明显的性质.对于上述结论，同学们有什么进一步的感受和思考？能不能将结论明确化？怎么发现更多的结论？
生 我们发现，该函数的值域似乎总是[-2，2]的真子集.那么，该函数的值域能否就是[-2，2]呢？
生 应该可以.只要使得两个函数的部分最大值、最小值点重合.
师 你说的有一定道理.不过到底能否使得两个函数的部分最大值、最小值点重合，还需要具体地算一算.老师是觉得这一过程可能会比较麻烦.
生 我们还发现，该函数似乎总是周期函数.那么，这个结论能一般化吗？两个周期函数加起来一定是周期函数吗？
生 应该是的.两个函数周期的公倍数就是叠加函数的周期.
师 你的思路挺好，但是，结论不怎么正确.比如，y=sinx+cosπx 就没有周期.
生 老师，我觉得该函数的图象与性质实在是太复杂了.
师 老师也有同样的感觉.为了简化，我们可以只研究该函数的部分性质.你们想研究什么性质？
生 对于三角函数，最好研究周期性.
师 英雄所见略同.可是，函数本身还是有些复杂，图象特征不易发现，怎么办呢？
生 特殊化，只研究 A、B∈ 的情况.
（教师课件出示简化任务：当 A、B∈ 时，研究函数 g（x）=sinAx+cosBx 的周期性.）
师 这次的研究应该简单了许多，同学们能得到什么样的结论呢？请大家再次作图观察，提出猜想；注意先合情推理，不着急演绎论证.
[设计意图：只有通过操作、观察和归纳、猜想等活动，才能不断地聚焦学习任务，获得有价值的结论，这便是探究一发现的本义.在这个过程
中，应注重让学生经历从特殊现象中提炼出一般规律的思考过程，学会归纳推理；同时，应注重顺应学生提出的各种想法，并逐一加以分析、举例与验证（肯定或否定），引导学生初步筛选、修正和优化结论.]
（四）推理论证
师 通过观察和分析，从图象中归纳出来的性质是否正确呢？
生 不一定.
师 那么，怎样才能说明结论一定正确或不正确呢？还能从什么角度说明？
生 需要进行严格的推理论证.
师 很好！这便是数学不同于自然科学的地方：数学也需要计算、操作、观察、类比、归纳，但更强调逻辑推理的严谨，讲究逻辑体系的自洽；而自然科学则是一个以实验和事实为基础的假说一演绎体系.以上，我们发现的结论比较多，如果都要证明的话，太费时间；而且有些结论比较明显，有些结论过于复杂.现在，请同学们对最后得到的关于周期性的结论进行证明.此外，考虑到字母表示的复杂性，我们仍然可以先通过特殊化的方法寻找证明思路.
（教师课件出示问题：证明 g（x）=sin2x+cosx 的最小正周期是 2π.教师先引导学生利用反证法完成本题，再引导学生引入字母参数，将本题一般化.）
[设计意图：首先，揭示证明的意义和作用.其次，面对复杂多样的函数性质的证明，不苛求一下子解决所有问题，而选择一个小的切入口作为
范例——为学生打开一扇窗户，让他们能看见窗外的风景，使他们有冲出去的欲望.]
（五）小结拓展
师 通过本节课的探究，我们对函数 g（x）=sinAx+cosBx 的图象与性质有了初步的感受和认识，虽然对很多结论还不能严格地推理论证，但通过提出猜想已经训练了我们的合情推理能力和创新思维能力.当然这还不是终点，请同学们课后继续研究其他参数对“三角函数的叠加”的影响.这里，先请同学们思考：我们怎么来研究这些新函数呢？
（教师引导学生达成共识：还是可以先取特殊情况，画图观察；再进行一般化，提出猜想；最后从代数角度进行推理论证，还可以利用特殊化手段寻找思路.）
[设计意图：由此及彼、举一反三地拓展研究的范围，扩大方法的价值和内涵.]
（六）历史与应用
师 今天我们研究了“三角函数的叠加”，但是这样的叠加有什么意义和作用呢？（课件简要展示傅立叶的生平与成就以及其对三角级数的研究）法国数学家傅立叶研究发现，几乎所有的周期函数都能用三角函数的叠加——当然通常是无穷个三角函数的叠加来表示.
（学生阅读、感受.）
师 （课件出示图 3）这里给出了一些乐器的声波图象，如果我们能掌握恰当的解法，就可以找到若干三角函数进行叠加，以拟合声波函数，甚至发出声音.
（教师引导学生利用几何画板绘制三角函数叠加后的图象，并播放其声音.）
[设计意图：展示本课研究内容的历史与应用，给学生完整的“认知地图”，让学生“学以致用”，同时激发学生学习的兴趣，展示数学与新技术结合的魅力.]
三、教学反思
通过这节课的教学，笔者发现，要上好数学课，尤其是内容拓展的研究性学习课，需要特别注意以下三点.
（一）教学主线：明线与暗线交相辉映
数学教学要做到知识内容和思想方法（即明线与暗线）的渗透.没有了思想方法，知识内容的教学价值就得不到充分体现，学生的学习必然是低效的；没有了知识内容，思想方法就失去了教学载体，变得空洞乏味、难以理解.而对于内容拓展的研究性学习课，尤其要凸显思想方法的教学，否则，这样的“超纲”教学带给学生更多的可能是负担，而不是收获.
本节课的明线是“三角函数的叠加”，它是教材内容的自然延伸.考虑到内容的复杂性、课时的限制性、形式的难以转化性以及周期的重要性，笔者选择了最简单的“两个只含周期参数的三角函数的叠加”g（x）
=sinAx+cosBx 作为主要的研究对象，而且，在初步感受该函数的各种性质后，重点研究该函数的周期性，并适当介绍这类函数的研究历史和应用价值.由此，帮助学生进一步完善知识结构，感受数学的魅力.
本节课的暗线是合情推理等思考与研究的方法，主要是在与其他函数的类比迁移中，在由特殊函数图象到一般函数性质的归纳猜想中，发现和体会研究函数性质、解决函数问题（乃至其他数学内容）的一般程序和方法，比如提出问题、制订方案、合理简化、数形转化、实验尝试（操作、观察等实践活动）、合情猜想、验证证明等.由此，帮助学生强化之前研究基本三角函数的过程与方法，为研究其他复杂函数的图象与性质提供进一步的经验与借鉴.实际上，虽然教材为合情推理的方法安排了专门的章节，但是在其他内容的教学中不断渗透合情推理的方法，才是正确的教学方式.
（二）教学手段：用信息技术助推
我们身处技术变革的大时代，新的技术层出不穷，我们的教学方式也要应时而变.但是，技术不是万能的，数学教学应该把握住对数学本质的认识，以发展和提升学生的数学思维能力为前提，选择、融入适合的技术.
由于本节课所研究的函数较为复杂，基于高一学生现有的知识，以“数”为主，通过计算、推理进行理性分析不太现实，所以，选择以“形”为主，通过作图、观察进行直观感受的研究方式.但是，面对这一复杂的函数，无论教师还是学生，手工计算、列表、描点、作图都是费时费力，乃至无法完成的，所以，选择几何画板来通过简单的操作，实现即时、动态的作图效果.也就是说，从技术的角度看，几何画板的使用，不仅
使得这一内容的研究成为可能，而且使得本节课的教学变得高效.值得一提的是，几何画板强大的课件功能，使得本节课的课件呈现也实现了即时、动态和一体化的效果.
综观本节课的各个环节，平板电脑以及网络和投影设备的使用，使得教学更加自由、灵活，凸显出学生的主体地位.平板电脑具有便携带、易普及的特点，使得教学的时空不受限制，活动的展开更加方便，学生的体验能够充分.网络和投影设备的互动与展示功能，也使得师生的交流和碰撞更加快捷、丰富.
（三）教学细节：透彻研究内容，充分预设生成
上课，尤其是上内容拓展的研究性学习课之前，教师一定要从细节入手，透彻研究内容，充分预设生成.只有这样，才能充分发挥教学价值，对学生进行正确引导.
在本节课中，由于研究不透彻，预设不充分，笔者对演绎推理有所忽视，使得学生的思维产生了混乱，认识缺少了深度，也使得理性思考显得单薄.比如，当学生提出“该函数的值域能否是[-2，2]呢”的问题以及“只要使得两个函数的部分最大值、最小值点重合”的思路时，笔者因为觉得比较麻烦，而没有引导学生进一步计算.实际上，只要表示出两个函数取最值时的自变量，进而推出所得的一个四元方程没有整数解，就不难发现相应的值域不能是[-2，2].又如，当学生提出“两个周期函数加起来一定是周期函数吗”以及“两个函数周期的公倍数就是叠加函数的周期”的思路...
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