下面是小编为大家整理的极限计算与证明方法,供大家参考。
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编 号：
本科生毕业论文（设计）册 学院 汇华学院
专业 数学与应用数学
班级 2008 级 X 班学生
**X 指导教师 **X 论文编号 **师 X 大学本科毕业论文（设计）任务书
论文（设计）题目：
极限的计算与证明方法 学 院：
汇华学院 专业：
数学与应用数学 班级：
2008 级 3 班学生**：
**x
学号：指导教师：
**x
职称：
1、论文（设计）研究目标及主要任务 目标：总结一些常用的极限的计算和证明方法。
主要任务：通过归纳总结对极限思想及其计算、证明方法加以巩固，为后继的数学学习奠定基础。同时也培养自身的探究精神，提高自身的科学素养。
2、论文（设计）的主要内容 主要内容：极限的常见的计算和证明方法，即利用函数的定义求极限、利用两个准则求极限、利用柯西收敛准则求极限、利用极限的四则运算性质求极限、利用两个重要极限公式求极限、利用单侧极限求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用等价无穷小量代换求极限、利用函数的连续性求极限、利用导数的定义求极限、利用中值定理求极限、利用定积分求和式的极限、利用洛必达法则求极限、利用泰勒展开式求极限、利用
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级数收敛的必要条件求极限等。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：图书馆借阅及网上相关资料查阅。
研究路线：首先引入极限的分类及定义；然后对极限的计算与证明方法进行搜集归纳，并一一列举，并给出相应的例题以促进知识的理解、掌握及应用；最后作出总结。4、主要参考文献 [1] 华东师 X 大学数学系编,数学分析（第三版）[M]，高等教育，2001 年。
[2] 大学数学名师导学丛书编写组编，数学分析名师导学[M]，中国水利水电,2004 年。[3]钱**等主编，众邦考试教育研究所策划，数学分析解题精粹（第二版）[M]，**长江出版集团，2009 年。
5、计划进度
阶段 起止日期
1
毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、
2011.11.01－2012.12.02
论文开题
2 进行毕业论文的初稿写作 2012.12.03－2012.02.01 3 进行毕业论文的二稿写作 2012.02.02－2012.03.24 4 进一步修改论文，并最终定稿 2012.03.25－2012.05.09 5 论文答辩 2012.05.10 指 导 教 师：年月日
教研室主任：年月日 **师 X 大学本科生毕业论文（设计）开题报告书 汇华 学院 数学与应用数学 专业 2012 届
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学生 **x
论文（设计）题目 极限的计算与证明方法
指导 专业 所属 研究 **x 教师 职称 教研室 方向
课题论证：（见附页）方案设计：
研究对象：极限的计算及证明方法。
研究问题：极限常见的求法和证明方法的总结归纳。
采用方法：经验总结法、比较研究法、文献资料法等。
内容安排：本文分为四个部分：绪论、极限的分类及定义、极限的计算与证明方法及结束语。第一部分主要介绍极限在数学分析中的作用，引出主题；第二部分简要介绍数学分析中极限的分类和定义；第三部分进入正文部分，归纳总结了十五种极限的常见求法及证明方法，并辅以相应的例题；第四部分是对全文进行的总结性段落，使文章首尾呼应，内容更为完整。预期目标：掌握求极限的方法，并且能够在不同的题目中应用想适应的方法，更好地完成极限的求解及证明工作。同时通过对极限求法的讨论，加强应用极限解题的能力， 为日后相关学习奠定坚实基础。
进度计划：
2011.11.01－2012.12.02 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论文开题； 2012.12.03－2012.02.01
进行毕业论文的初稿写作； 2012.02.02－2012.03.24
进行毕业论文的二稿写作； 2012.03.25－2012.05.09 进一步修改论文，并最终定稿；
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2012.05.10 论文答辩。
指导教师意见：
指导教师签名：
年 月 日
教研室意见：
教研室主任签名：
年 月 日 毕业论文课题论证（附）
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数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一门学科，在初等数学这种静态的数量关系的分析到数学分析这种动态数量关系的研究这一发展过程中，研究对象发生了很大的变化。也正是在这一背景下，极限作为一种研究事物动态数量关系的方法应用而生。极限作为数学分析的理论基础和基本组成部分，作为区别初等数学的重要标志，伴随着微积分的建立，最终发展成现在的角色，贯穿于整个数学分析学习的过程中，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上，可见极限在数学分析的学习过程中起到了十分重要的作用。极限的产生和发展可谓是曲折坎坷的，极限理论的建立不仅消除了微积分长期以来 带有的神秘性，也为微积分奠定了理论基础，加速了微积分的发展，使微积分能够更好 的更深入的解决更多的实际问题，成为生产和科学技术中有力的工具，而且在思想上和方法上深刻的影响和促进了近代数学的发展。
极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，研究数学分析中函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，由此可见极限的重要性。极限理论又是数学分析中的基本概念，对极限理论和极限概念理解和掌握的好坏将直接影响到相关课程的学习。极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折，极限概念描述的是变量在某一变化过程中的变化趋势，是从有限到无限、近似到精确、量变到质变过程，与初等数学中的概念有很大的区别，因此学生掌握起来比较困难。
而就是因为其艰难的发展路程，才更显现了它在数学研究过程中的重要性。要深入 数学领域，就必须培养并掌握极限的思想及相关概念，更重要的就是要能够熟练地使用极限的方法解决数学中的很多难题。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学生较为头痛的问题。又因为极限运算作为学习数分过程中的最基本的运算，所以能够很好地掌握一些常用的求极限的方法时十分必要的。求极限不仅要准确理解极限的
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概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。而对于一些比较复杂的极限，如果直接按照极限的定义来求就会显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果。为了极限的发展，使之得到更广泛的应用，有很多学者专家对求极限的方法也进行过深入的研究。作为一个数学专业的学生，很有必要对极限的求法和证明方法进行了解和熟悉。相信这个课题会让我更多的人了解数学这门学科，也对形成数学思想起到促进作用。本文就是针对极限的计算和证明方法展开的。
**师 X 大学本科生毕业论文（设计）文献综述
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作为一种科学的思想方法，极限思想同样是社会实践的产物。极限的起源与发展一直也是学者们较为关注的话题。
早在春秋战国时期，哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言"一尺之棰，日取其半， 万世不竭”就已经反映了古人对极限问题有了一定的思考。而我国古代数学家X 徽和祖冲之的"割圆术”已经能够利用极限论的初步思想来解决求圆周率的实际问题了。同时，古希腊人的"穷竭法”也已经将极限思想蕴涵其中来解决问题。但是，由于希腊人对"无限”有着一种恐惧心理，于是他们便借助了一种间接的方法——归谬法来完成有关证明。以上这些都是极限思想在其萌芽阶段的表现，尽管这一阶段的极限概念不明确，但是却能够为后人继续探索和发展极限思想提供一个很好的平台。
到了 16、17 世纪，极限思想进入了发展阶段，荷兰数学家斯泰文改进了"穷竭法”，并 且大胆地运用了极限的思想来思考问题，从而将极限方法发展成为了一个实用的概念。之后，牛顿和莱布尼兹以无穷小的概念为基础建立了微积分，但由于他们在研究过程中遇到了逻辑困难，因此也不同程度地接受了极限思想。，此时，真正意义上的极限才得以建立。然而牛顿对于极限的理解是建立在几何直观上的，故而无法给出极限的严格表述，这与数学上的追求严密的原则相抵触。到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔以及依里埃等人先后给出明确态度，指明极限必须是微积分的基础概念，并且都作出了各自的极限的定义。直到19 世纪，法国数学家柯西在前人的研究基础上才将极限概念比较完整地阐述出来。为了排除极限概念中依旧存在的几何直观的痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯对极限又作出了静态的定义，也给微积分奠定了更为严格的理论基础。这个严格的定义也被看作是科学论证的基础，一直沿用至今。
到了近代，在数学的许多分支中，很多重要的学术性概念及理论都是以极限思想为理 论基础来进行延拓和深化的。运用极限思想来解决问题也已经成为了学习数学分析乃至整
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个高等数学过程中一件必不可少的工具，数学分析之所以能够很好地解决初等数学无法解决的问题，也正是源于它应用了极限的思想方法。因此，能够很好的掌握极限的计算及证明方法也成为学习数学分析的必要条件。
近年，许多的专家、学者对极限的热衷程度逐渐提升，他们在深入探究极限的概念及理论意义的同时也对极限的计算和证明方法有不同程度的的研究，并且取得了一定的突破。比如说利用中值定理求极限、利用无穷小量求极限等方法便是较为突出的研究成果。这对于后人学习数学分析甚至是深入数学领域都有着重大的意义。
**师 X 大学本科生毕业论文（设计）翻译文章
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英文原文：摘自 Vladimir A.Zorich 著的《Mathematical Analysis I》第 111 页到 114 页。
3.2.2 函数极限的性质
在这里我们给出一些常用的函数极限的性质。它们中的许多性质都类似于我们之前已经给出的数列极限的性质，而数列极限的性质我们已经给出，此处不再赘述。此外，由上面命题 1 的证明能够明显地看出，很多函数极限的性质都是随着与其相应的数列极限的性质的形成而产生的，例如：极限的唯一性、极限的运算性以及极限的保不等式性等。读者们可以注意到这样的现实：我们仅仅需要一列极限点的去心邻域的两个性质：
Ø，即点集 E 的去心邻域是非空的； B
U a
1
E
"
" ，
B U
E
a U ""
E
a U
a
U a U
a U "" a
E E 2
E E
也就是说，任意去心邻域的交集都包含某一个去心邻域。这一结论给出了我们函数极限的一般概念，函数极限定理也使得未来数集的定义成为了可能。为了使得此处的讨论不与上述的 3.1 节出现重复，我们将给出一些前节没有进行证明的新的方法和概念。
a. 函数极限的一般性质
首先，我们给出以下定义：
定义
4. 如前所述，假设函数 f : E
R 仅是一个常值函数。取一个函数 f : E
R ，
当 x
a , x
E 时，如果点 a 是去心邻域 U E
a 上的一个常值，则 a 被称作函数 f 上最终
恒定的一个点，即 a 为集合 E 的一个极限点。
定义
. 5.
函数 f : E
R 是有界的，有上界或者是由下界，如果存在一个数 C
R ， 对于所有的 x
E ，都使得 f ( x )
C , f ( x )
C , 或者 C
f ( x ) 成立。
如果上述三种关系之一仅在这些去心邻域里成立的话，当 x a, x E 时，这个函 数就被称为最终有界、最终有上界或者有下界。
定理
1 1. a. 当 x a x E 时，函数 f : E R 是一个常数 A
. .
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U
lim f (x) A, x E 。
x a
b.
存在 lim f
( x ) A x
a
1
, x E 当 x a x E 时，函数 f : E R 是一个有界常数。
c.
当lim f
( x ) A
x
a
1
A A 。
1 2
且 lim f
( x ) A
x
a
2
( x E ) 时 证明 结论 a 中一个最终的常函数有一个极限，结论 b 中一个函数有的极限存在， 说明这个函数有界，这与其对应的定义相符合。我们现在来证明极限的唯一性。
假设 A A 。选取两个互不相交的邻域 V A 和 V A ，即 V A V A Ø。由极 1 2 1 2 1 2 限的定义我们有
" "
,
lim f (x) A (x E) U E a f U E a V A xa 1
1
。
lim f (x) A (x E) U ""
E
a f U "" E
a V
A xa 2
2
选取一个 a （ E 的一个极限点）的一个去心邻域U E
a ，使得
a
E
U "
E
a U E
a 。
又 U a Ø，再取 x U a 。然后就有 f (x) V A V A
，由于邻域V A 和V A 互 E E 1 2 1 2 不相交，故 f (x) V A V A 不成立。
□ 1 2
. b. 极限的四则运算法则
定义
. 6.
如果两个数值函数 f : E R 和 g : E R 有一个共同的定义域 E ， 它们的和、积和商函数分别由下列的同一组公式来定义：
f
g x
f x
g x ,
f
g x
f x
g x ,
""
. .
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g
g B
f
f x 此处 g x 0 , x E 。
x g x ,
定理
2 2 . 取函数 f : E R 和函数 g : E R ，使得他们有一个共同的定义域。
如果 lim f ( x ) A 且 lim g ( x ) B , x E ， 那 么 x
a x
a
a. lim
f
g ( x ) A
B , x E ； x
a
b. lim
f g ( x ) A B , x E ； x
a
c. lim f A , 对 于 x E ， B 0 且 g x 0 。
x
a
在 3.2.2 节的开头已经注明，这个定理是一个之前的名题 1 中给出的数列极限相应定理的直接结果。这个定理也可以通过重复证明数列极限的性质来得到。为了缩小集合 E 中点 a 的去心邻域的 X 围，我们需要在证明过程中给出一定的限定条件，即同先前涉及到的陈述"从自然数 N 中取一个数 n”。此处为读者自行证明。
当 x a x E 时，函数 f : E R 被称作是无穷的，如果函数的...