摘 要 泰勒公式能将较复杂的函数近似转化为简单的多项式的处理，再结合导数的知识可以来求解未定式的极限、特殊形式的极限和利用它作函数的证明。
关键词 泰勒公式 极限 导数 皮亚诺余项
中图分类号：O17 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.03.021
1 定理
设在=0处存在+1阶的连续导数，则有：
=++2+…++（），
其中（）=，上式为函数在=0点处的关于的展开式，称为泰勒公式，其中（）叫皮亚诺余项（Peano）。
证明：作辅助函数：
=2…，易知，在[0，]或者[，0]上是连续的，并且有：=，=0，=。
又引入一个辅助函数：（）=，利用柯西定理可得： = ，而应在0到之间，则有：
=，=0，=（）
=，=0，=（）
将这些结论都代入到由柯西定理得到的等式中得：
=，又由于
==0，
∴（）=
2 常见的初等函数的泰勒公式
当→0时，有：
（1）=1+++…++
（2）=+…++
（3）=1+…++
（4）（1+）=1+++…++
（5）1n+（1+）=+…++
利用如上的一些常用公式可以将一些较复杂的极限变得简单易求。
3 利用泰勒公式求解未定式及特殊的极限
若在=0处存在阶可导，且有带皮亚诺余项的泰勒公式，即：
=++2+…++
当有：=0时，且有：=+，=+，则有：
==（≠0）。
例1：求=
解：由于+1=，+1（1+24）+，
=（12）（1+2）+=2+
又因为，当→0时，～，从而
==.
例2：求
解：当时，由于1～～，又由1n（1+）=+，从而，
原式==。
利用泰勒公式还可以求解极限中的参数。
例3.确定常数，使：（）=0
解：因为=2= 2++€%^，其中€%^=0，所以=（2）（+）++€%^，由此可知，欲使：
（）=[（2）（+）++€%^]=0，
则有：=2，=。
由此易知，当x→+∞时，曲线=以直线=2为斜渐近线。
4 利用泰勒公式证明函数或导数存在特殊点
有时要证某点满足某等式时，常常利用泰勒公式，而所要找的点一般为式中的中间值点。
例4：已知在[a，b]满足三次可导，试证：€HR∈（a，b），有：
=+（）+（）3·（）。
证明：将在=处展开成二阶的泰勒公式，再分别取和代入得：
=+（）+（）2+
（）（）3
=+（）+（）2+
（）（）3
满足，∈（，）从而可得：
=（）+[（）+（）]（）3，
由于[（）+（）]介于（）和（）之间，从而€HR∈（a，b），满足
（）=，
故：=+（）+（）3（）。
例5.试确定，使极限存在，其中=++…+，≠0，为自然数。
解：令（）=+…+，则有：
==+（）+，其中：=0，由于存在，而
=
=（），
故有=0，所以=。
5 利用泰勒公式证明不等式
通过估计泰勒公式的余项来证明不等式，在近n年的考研数学中常有如下考点，已知有拉格朗日余项型的泰勒公式，例如三阶的泰勒公式：
=++2+[+]3，其中∈（0，1）。当对余项作适当估计时就可得相应不等式。
例6：已知在[0，1]上连续，在（0，1）内存在二阶的导数，并设==0，且有=2，试证：€HR∈（1，1），使≤。
证：由==0，且=2可知存在最大值点，满足∈（0，1），当在此点展开可得：=+（）+（）2，其中∈（，）。将=0，=1及=2，且=0代入可得：=+（）+（）2，即：
0=2+a2，∈（0，1）。
同理有：=+（）+（）2，
則0=2+（）2，∈（0，1）。
当0<<时，有=<；当≤≤1时，=≤。综上可得：∈（0，1），满足≤。
利用泰勒公式建立了一阶导数与二阶导数之间的关系。
例7.若在[0，1]二阶可微，且有||≤，||≤，，均为非负数，€HO∈（0，1），试证：||≤2a+。
证明：利用二阶泰勒公式，€HO∈[0，1]，€HO∈（0，1），有：
=+（）+（）2，其中∈（），
当时，得：=+（）+，∈（），
再令，得：=+（）+，∈（），将上面两式相减得：
=（）+[]，
即：（）=[]，
从而：|（）|≤||+||+[||+||]≤2+[（1）2+]≤2+[1+]=2+。
所以，|（）|≤2+成立。
例8.已知在（，）内有二阶导数，且（）<0，试证：对于（，）内的任意两个不同的与，且满足+=1，0<<1的两个数和，均有>（）+（）。
证明：将在某点利用泰勒公式展开至=1得：
=+（）+（）2，其中∈（a，b），
当=时代入得：=+（）+（）2，∈（，），当令=时代入得：=+（）+（）2，∈（，），将第一式两边乘以，然后将第二式两边乘以再相加得：
（）+（）=+（+）+（）2+（）2， 令+=代入得：
（）+（）=（+）+[n（）]2+
[m（）]2，
又因为<0恒成立，从而（）+（）<成立。
6 小结
泰勒公式的作用非常巨大，应用也相当广泛，本文只是从几个方面介绍了泰勒公式的应用，实际上，泰勒公式在作近似计算方面也是非常实用，而且计算精确度比较高。
参考文献
[1] 詹婉容，于海.对一道习题的思考[J].高等数学研究，2008.11（1）：105-106.
[2] 华东师范大学数学系. 数学分析（2版）[M].北京：高等教育出版社，2000.
[3] 毛纲源.高等数学解题方法归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2001：86-89.
[4] 同济大学数学系.高等数学：上册[M].北京：高等教育出版社，2008.
[5] 陈传璋等.数学分析：上册[M].北京：高等教育出版社，2003.
[6] 李永乐等.考研复习全书.数学一[M].北京：国家行政学院出版社，2014.