摘 要:本文对Pochhammer―Chree方程的周期边界问题构造了一个隐式差分格式。差分格式的精度为。并用离散泛函分析的方法证明了格式的收敛性和稳定性。
关键词:非线性Pochhammer―Chre方程差分格式收敛性稳定性MR(2000)主题分类:65M06,65M30
中图分类号:O241.82文献标识码:A文章编号:1007-9416(2010)09-0134-02
1 引言
非线性Pochhammer―Chree方程,
, (1.1)
描述了弹性杆的纵向形变波的传播过程该方程在离子声波方面应用较为广泛,引起许多学者的兴趣。在这里是纵位移,是时间,是质点的横坐标,。文[1]给出了方程当时的孤波解,,文[2]对周期边界的Pochhammer―Chree方程给出了一个多辛格式。将方程(1.1)变形得如下的方程,
,
本文考虑如下的周期边界Pochhammer―Chree方程,
本文对方程(1.2)-(1.4)提出了一个三点隐式差分格式,并用归纳法证明了格式的收敛性。通过在每一个时间层上求解一个三对角方程组,给出了格式的数值试验,验证了格式的稳定性和可靠性。
本文的章节做如下的安排:第二节给出差分格式,第三节证明了格式的收敛性,最后在第四节给出了数值实验。
2 差分格式的提出
将区间进行剖分,,,,为空间步长,,为时间步长,本文采用如下的符号
我们对方程(1.2)-(1.4)构造如下的差分格式:
在式(2.1)中我们令并与式中的第二个方程联立消去得误差为的近似,于是整个格式的精度为。下面证明此格式的收敛性。在证明过程中我们用C表示一般的常数,在不同的地方有不同的值。
3 格式的收敛性
先给出如下的定理。
引理1(Gronwall不等式[3])若离散函数满足如下不等式,
,
其中和为非负常数,则有
,
其中足够小,使得。
关于格式(2.1)-(2.3)的收敛性我们有如下的定理。
定理1.假设方程(1.2)-(1.4)的解,则差分格式(2.1)-(2.3)的解以收敛到(1.2)-(1.4)的解,且收敛阶为。
证明:我们令,则由Taylor展式得,
由引理1得,,于是有,,,由Soblev不等式得,
。
下面我们用归纳法证明格式的收敛性。假设当时,,则有
由引理1得,
,即,
从而有,,另外由,得,
所以得,由Soblev不等式得,证毕。
参考文献
[1] Bogolubsky I L. Some examples of inelastic soliton interaction[J]. Computer Physics Communications.1977,13(2):149 155.
[2] 黄浪扬.非线性Pochhammer-Chree方程的多辛Fourier拟谱算法.漳州师范学院学报(自然科学版),2007,1:36 41.
[3] 许秋滨,张鲁明.二维广义非线性Sine-Gordon方程的一个ADI格式.应用数学学报,2007,5:836-846.
[4] 张鲁明,李祥贵.一类带波动算子的非线性Schrodinger方程的一个守恒差分格式.数学物理学报,2002,22A(2):258-263.
[5] Zhou Yulin. Applications of discrete functional analysis to the finite difference method. InternationalAcademic Publishers,1990.
注:南京审计学院硕士建设点《微分方程理论及其应用》学科方向项目(NO.20710035)。