摘 要： 立足于蛛网模型，建立房地产市场的非线性二次供给和需求函数，然后确定价格的调整机制，验证了在相关参数的调整下，价格会出现倍周期分岔和混沌。通过数值模拟，计算价格机制的Lyapunov指数，证实了房地产价格混沌状态的出现，进而以天津市为例，探究和分析其价格系统的运行状态。最后提出价格混沌的控制方法以及对房地产调控的现实启示。
关键词： 房地产；蛛网模型；倍周期分岔；混沌
中图分类号： F83
文献标识码： A
文章编号： 16723198（2013）06010602
1 引言
自2010年4月史上最严厉的房地产调控政策国十条出台以来，控房价、挤泡沫、保民生切实成为房市调控的主基调，后政策层面又陆续跟进国八条、新国五条，内容涵盖房源供应、土地政策、税制改革、金融监管各个层面，可见国家对于房地产调控的信心和决心。在多方利益的博弈下，房地产走势不再是一个单纯的经济现象，它已经和很多社会、民生、安全问题联系起来了。
房地产业是周期性比较长的产业，具有供给滞后的特点，其外在表现为以成交量和成交均价等技术指标为主的房地产供求关系的周期波动。从现实反映来看，其周期呈现突变性、非线性和非对称性的特点，因此，如何更好的利用模型契合其周期的变化趋势，使宏观调控政策有据可依，是值得研究的问题。
蛛网理论是由美国经济学家H. Schultz、意大利经济学家U.Ricel和荷兰经济学家J. Tinbergen提出，1934年由英国经济学家N.Kaldor命名的。高鸿业在微观经济学第三版中，对蛛网模型是这样描述的，“引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量、供给量和价格之间相互作用的考察，用动态分析的方法论述诸如农产品、畜牧产品这类生产周期较长的商品的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果”。因此，可以利用蛛网理论来研究房地产的周期波动和价格变化等问题。
2 文献综述
在国内来讲，具有代表性的是，王利根据北京市房地产市场的发展情况，在详列影响供给和需求的因素的基础上，建立了线性方程并进行回归，得出蛛网呈现发散的结论，需要国家的宏观调控。曹振良在《房地产经济学通论》中，实现了蛛网由静态模型向动态模型的转化，但仅局限于对于方程的推导，没有做详细说明和实证检验。总之，国内研究虽然取得一定的成果，但层次较浅，没有做深入的研究。
从国外来看，比较前沿的是对于房价走势混沌状态的研究。收敛、发散、封闭结论的得出只是在简单假设情况下的基础结论，分歧、混沌状态的研究才更能客观反映实体经济的运作状态。C.H.Hommes 在蛛网模型中提出了适应性预期的概念，把供给方作为一个整体，研究了其混沌状态的出现。B.Finkenstadt建立了线性的供给方程和非线性的需求方程，R.V.Jensen， G.Sorger 和C.H.Hommes建立了非线性的供给方程和线性的需求方程，共同特点是，引入相关参数来代替真实数据，客观模拟和解释真实经济的变化情况。
在以往研究的基础上，我们利用蛛网模型建立非线性的供给和需求方程，研究土地市场和房地产市场价格波动机制，然后用matlab软件进行数值模拟，得出相关的结论。
3 模型构建
3.1 为简化模型便于处理，我们做如下假定
（1）开发商作为一个整体，属于同一利益集团；购买者作为一个整体，属于同一利益集团。
（2）土地的供给量和需求量只受价格因素的影响，房屋的需求量受价格的影响，房屋的供给量受房屋和土地当期价格的影响。
（3）均衡形成的条件是市场出清。
3.2 基于以上假定，建立需求方程
方程（7）是本文的核心方程，它表示了价格的波动机制，是当期价格基于前期价格和超额需求的调整，利用此方程，我们可以探究价格的运行轨迹，求解价格均衡点的稳定区域。（7）为二维非线性映射方程，接下来我们用离散动力系统的方式来处理。
4 实证分析
我们在其模拟结果的基础上，结合天津市的实际情况，进行房地产市场经济行为的分析和解释，并提出调控的思路和方法。为了更好的模拟和反映房地产价格调整机制（8）的变动规律，直观的说明上述讨论的过程，我们给固定的常数予以赋值，即令：
a0=1.2，a1=2，a2=1.6，b0=4，b1=1.6，b2=0.04，
c0=0.5，c1=0.3，c2=0.2，d0=0，d1=3，d2=0.02，d3=0.4
（1）图形1表示了在α2取0.4时，随着调整参数α1的变动，价格p1 ，p2的变动趋势。由该图可知，E* （0.4，0.9）是一个局部均衡点，这个也可以通过（11）式得出。当α1增大时，均衡打破，系统出现分岔，α1继续增大，系统由分岔进入混沌状态，这与前面的推导是相吻合的。图形还显示了Lyapunov指数的变动情况，Lyapunov指数趋于0时，均衡点是稳定的，当该指数处于振荡状态时，均衡点出现了混沌。
（2）将α2作为该价格系统的变动因子，取不同的值，探究土地价格p1和房屋价格p2之间的关系。由图形3可知，房屋价格和土地价格没有简单的线性关系，尤其当超额需求的权重α2取较小的值时，α2=0.07，价格系统会处于一种混沌状态，无任何规律可循，而当给α2赋予合适的值时，土地价格和房屋价格会呈现不规则的非线性关系，结果要优于前者。
由于参数α代表价格基于超额需求调整的权重，即下期价格受当期供需的影响程度。从图2，3的反映来看，参数α要掌握适度的原则，取值不能太大，太大时其价格走势会处于一种混沌的态势，也不能太小，太小了会影响两种商品的价格相关性。我们把α可以视为对经济的干预程度，过度干预和放任自由都是不可取的，调控要在遵循供需规律的基础上，掌握适度的原则。当某种商品背离供需规律的影响时，其整个价格系统，包括自身价格及其与互补品的价格，运行都会处于一种混沌难控的状态，反观我国房地产市场近几年，房价居高难下，泡沫滋生，调控政策持续跟进，虽有成效，但还没有从根本上进入良性发展轨道。
我们以天津市2010年1月至2011年12月的数据为例，探究天津房地产市场土地价格和住房价格所处的状态，并对状态的成因进行分析。图3表示土地价格的运行轨迹，显然处于一种混沌状态。之所以如此，是由我国长期以来的土地供应机制所决定的。土地供应以政府为主导，采用招拍挂的方式，完全扭曲了市场的实际供应和需求，没有遵循供需规律，从而使价格的运行呈现了混沌态势。正如前面图3所表示的，α1取值较大时，价格系统就会出现混沌。
图4表示住房价格的运行轨迹，其基本呈现小幅震荡、相对平稳的运行态势。这是全国房地产市场的一个缩影，表明国家近两年来我国坚持宏观调控政策不放松的正确性，干预参数适当，保障刚需和改善性需求，挤出投资性需求，尊重了市场发展的规律，使得房价没有重现2005年后的大幅震荡，但要真正进入健康良性的发展轨道，还要政策的持续跟进，不断调整干预参数。
图5是天津市住房和土地价格一个关系图，横轴表示土地价格，纵轴表示住房价格。从图形直观来看，两价格之间运行没有任何的相关性，呈现混沌的态势。我们处理两组数据，得出t统计量的值为-1.059883，相关系数R=0.048581，证明土地价格和住房价格确实不存在任何线性相关关系，与图3（左）形态类似。综合分析来看，正是由于土地干预参数的不适当，引发了天津市整个房地产价格系统
的不稳定，要想根本上解决这个问题，需要从土地体制的改
革开始。
5 政策启示
（1）确定合适的干预参数。由模型的实证结果来看，房地产运作的价格系统会随着调整参数α的不同而处于不同的状态，过度的干预和放任都会产生一种混沌的状态。而干预参数的确定时的立足点是供需规律，然后结合现实环境制定相应的调控政策。现阶段，部分区域的限购、保障房的大力建设、房产税的扩大试点、购房利率的调整等都是在确定合适的干预参数，形成了今天房地产的稳定或纠结的态势，各利益相关方进入深度博弈，还需要进行对参数的进一步优化和调整。
（2）延迟反馈控制。V. Pyragas and K. Pyragas（2006）提出了一种控制混沌的方法——延迟反馈控制，把系统输出的信号经过一段时间间隔后做为外生变量重新输入系统内部。根据该研究理论，我们把模型（7）变为
p1 （t）=p1 （t-1）+α1Z（p1 （t-1））-κ（p1 （t）-p1 （t-γ）） t=0，1，2，3
p2 （t）=p2 （t-1）+α2Z（p2 （t-1））
其中κ为控制变量，γ为滞后期。
取α1=2.3，α2=0.4，因为由图1可知，在该参数取值下，均衡点是不稳定的，系统出现了混沌。令γ=1，然后根据κ值的变动，探究土地价格p1的运动轨迹。由图4可知，随着κ的增大，价格逐渐由混沌变为分岔最后趋于稳定，证明延迟反馈控制方法是有效的。
该控制方法给我们的启示是在进行房地产的调控时，要把房价以往走势纳入分析，并加之当时宏观环境、社会价值观等因素综合考虑，不断调整，制定相关政策。该方法说明在重视当期控制的同时，也要看重反馈控制。
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