摘要： 为了求得未知椭球曲面的曲线方程，模拟曲面的几何结构，以数字投影系统中椭球反光镜为例，介绍了大口径非球面反光镜数据采集及拟合方法。利用三坐标测量机（CMM）对椭球反光镜面型进行精密测量，根据测试数据，采用数学拟合方法获得椭球反光镜的曲线方程。并对测试模型与拟合曲面进行了光线追迹和误差分析，拟合曲面与测试曲面符合较好。因此，采用三坐标测量机进行曲面数据采集及数学方法拟合，能够得到较理想的拟合曲面方程。
关键词： 非球面反光镜； 三坐标测量机； 曲面数据采集； 曲面拟合
中图分类号： O 439文献标识码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2012.03.001
引言
非球面光学反光镜按照面型分类包括椭圆、抛物面、双曲面等类型，广泛应用于数字投影系统[1]、冷光源[2]、电影光源[3，4]、照明光源[5]等，其几何外形结构如图1所示。其中应用于数字投影系统中的椭球反光镜，如图2所示，是一种较为精密的反光镜元件。实际加工过程中，需要对未知椭球曲面方程进行重构求解，以便进行数据误差分析及再加工。曲面重构的主要方法是通过采集曲面的坐标数据信息及数据拟合，得到非球面曲面方程。曲面的数据采集及拟合一方面有助于光学系统辅助设计，另一方面作为制造过程的误差分析，模拟模型的光学特性变化，可以提升产品制造精度及性能。
1非球面反光镜的加工及面型检测
1.1非球面反光镜加工
非球面反光镜制造过程主要采用模压成型及机械精密研磨成型两种加工方式。其中，模压成型方法主要用于小尺寸反光镜加工，如应用于小功率投影机光源系统的反光镜；机械研磨成型加工主要用于大型非球面反光镜的加工，加工过程也更加复杂，周期更长。加工工艺如图3、图4所示。在这些精密反光镜生产的过程中，经常要通过精密的测试和计算来提升反光镜的加工精度，减少制造误差。非球面反光镜面形检测方法主要有接触式测量及非接触式的测量。测量方法包括三坐标测量机、轮廓仪、样板测试、几何光学方法、光电方法测试等。其中三坐标测量机测试方法，以其高精度的定量测量方式已在非球面检测领域得到越来越广泛的应用[68]，也是非球面反求工程中实用性好的一种重要方法。
1.2三坐标面型检测
1.2.1反光镜测试检测路径及基准定标
非球面检测路径可采用以下三种方法：子午线法、光栅式检测路径和圆周式检测路径[9]。这里采用子午线方法进行测量。利用测试设备测量一条经过轴对称光学元件对称轴的子午线，如图5所示，沿子午线及轴线所在平面剖开椭球形成截面，测试截面与中心位置的相对坐标，如图6所示，再通过数学方法拟合数据。使用三坐标测量机测试非球面光学元件须先选择一个基准面，以便进行坐标变换及数据分析。由于在反光镜加工过程中，上端面与反光镜中轴垂直，所以选择上端面作为基准面比较准确，如图6所示。选择非球面反光镜上端面作为基准水平面，沿水平端面测试反光镜上端内表面不同位置坐标，再根据测试数据找到圆心及中轴线。
1.2.2数据采集
沿轴向方向，选择一个轴截面作为测试平面，用三坐标测试机测量截面的位置坐标。测试坐标的中心选择在上端面中心，测试过程采集足够的数据点，一般根据反光镜大小采集200～300个坐标点即可。由于测试曲面为未知曲面，因此测试坐标点均为相对空间坐标。
2.1非球面曲面构造
由于测试的数据均为相对位置坐标，须根据测试中的空间位置关系，转换为接近于曲面方程坐标系下坐标点（xi，yi，zi），再根据测试的数据建立坐标系，采用三维绘图软件重构图形如图7所示。
2.2参数方程拟合
曲线拟合：基于最小二乘的数学拟合方法在实际计算中应用较多[1012]。高斯—牛顿算法最小二乘拟合[13，14]的出发点就是先通过模型进行线性近似，求出近似模型的最小二乘估计，然后再进行迭代程序。利用泰勒基数展开近似非线性方程，将其表示成线性形式，计算出参数沿着残差减小方向上的新估测值。
2.4焦点误差模拟分析
将测试构造的反光镜转换为三维实体模型，F1、F2分别为第1、2焦点，f1、f2为第1、2焦距。进行光线追迹，通过光线追迹分析，若构造曲面与拟合曲面偏差较小，则在F2焦点处接收光能量具有最高值。参考拟合曲面所得到方程及焦点位置，将光源置于焦点F1处，在F2附近移动接收面，通过接收面接收到光线数量及能量分布变化，分析模型f2误差，如图10所示。模拟的设置如下：f1=42.7 mm；f2=280 mm，接收面半径为5 mm。通过移动接收屏，记录接收的平均光能量值及入射光线数，寻找最高能量值点坐标值，确认f2值的偏差。图11中最高点位置坐标为274 mm，参考坐标为280 mm，F2偏差为6 mm。
3结论
利用三坐标测试设备进行反光镜曲面数据采集，采用数学拟合的方法得到近似曲面方程。通过对拟合方程与测试坐标点数据的对比分析，误差较小；通过对拟合曲面及测试坐标点重构曲面的光线追迹分析，第二焦点虽有较小偏差，但光能量变化不大。采用上述反光镜测试拟合方法，对于提升精密反光镜加工精度，减少加工误差，是一种行之有效的方法。
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