摘要：举办初等数论“同课异构”活动是一件很有重要意义的事情，在初等数论中的一次不定方程充当着举足轻重的角色。所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数且其解受到某种条件的限制的方程或方程组。不定方程作为数论中比较古老的一个分支，同时也是数论中有着重要研究意义的课题之一，不定方程由于它的不定性，所以不定方程的解具有较大的灵活性以及局限性，在解题时必须根据问题的特点，细仔观察，灵活思考才可以达到迅速求解的效果。本文主要是针对“一次不定方程”展开了“同课异构”的讨论。
关键词：同课异构 初等数论 一次不定方程
引言
现今社会，“同课异构”无论是在校园还是生活中都已家喻户晓，实际上关于“同课异构”的概念很多的老师存在着错误的理解，从而对校园的教育质量产生了很大的不利影响，严重地引起了“同课异构”的意义。“同课异构”的理念是本着创新、真实以及开放性展开，另外在整个具体的实践中需要避免进入到与目标分离的误区。要想保证“同课异构”能够很好地开展就需要博提前备课，多多准备些有利于学生理解课程的道具。[1]
通过引导学生整理分类入手来研究数学问题，学生在分类的过程中，去伪存真，不断讨论，在思维火花的碰撞中归纳概括，建立概念。然后通过数线模型帮助学生真正理解概念，提升有序思考问题的能力。在和孩子们整节课的探讨中，聊着聊着就对了，聊着聊着就会了。这种巧妙的教学设计，讳莫高深、独辟蹊径的课堂教学艺术如沐春风，若一簇激浪持久地澎湃了参会的每一个人。在课堂上，不仅是用数学的真谛来拨亮孩子们的心灵，更是用她对孩子们的爱、真情来感染他们，用自己的人格魅力来塑造他们。[2]
一、开展“同课异构”的意义
开展“同课异构”可以给老师一个很好的沟通平台，在这个平台上，老师们可以根据其中的一个主题进行讨论，每个老师都有其自己的教学方案，在整个过程中，会因为每个老师不同的教学方案从而产生激烈的讨论。通过讨论，彼此都能学到很多，这样也有利于教师自身专业能力的加强以及师资水平的提高。[3]
1.提高教育质量
要想提高教学质量，需要经过重重的实践，最后再进行改革，然而如果改革过程总没有很好地对改革的意义加深理解，那么就会导致最终效果并不理想。现在我国的大部分改革采取的方式都是从上而下的，也就是说教育行政部门推行命令后再进一步实施到各个学校中去。很多的改革方案中缺失了与教师的沟通性，从而导致了执行力度不够。[4]
2.益于教师专业提高
随着社会的飞速进步，教育是一门需要足够专业性的技术。同时在很多人眼里看来，教师职业和律师甚至医生一样都是专业性很强的职业，教师职业需要的知识主要包括了管理学、心理学以及专业学等。有的知识是可以从课堂上学到的，但是有的课程只有在社会的实践中才能学到一位合格的教师除了需要有着专业技术知识外还需要有丰富的理论知识。[5]
二、二元一次不定方程和解
不定方程的含义指的是方程的数量小于未知数的数量，同时方程的解会被一些条件所限制的。在不定方程中通常会涉及到一个问题那就是不定方程解的个数，包括了3种可能，有唯一解，有多个解，无解。针对这几个问题就可以知道在现今的教学中依然存在着很多的未解之谜。所以在数学的领域范围中，不定方程存在着很大的争议。而且在很多的数学竞赛中，不定方程常常被引入到课堂中。
比如mx+ny=d，其中a，b，c都是属于整数，且ab不等于0，这种方程形式被称为二元一次不定方程。整个求解的过程又称为二元一次不定方程。因为求得方程的解为整数，同时又可以是负数抑或是0，因此本文只研究正整数的解。比如6x-5y=18和6x+5y=18，这2个方程公式y的系数只是互为正反数而已。[6]
当d等于0的时候，假如（m，n）=d，将方程的两边除以d，那么让x，y之间的系数是质数，所以可以设置（m，n）=1，从而得出方程的解等于-ny/m，因为（m，n）=1，所以如果y能够被m除尽，这样mx+ny=0才有解，因此令y=mt，其中t是整数，此时x=-nt，得出的解分别是x=-nt，y=mt。如果当c不等于0的时候，仅仅要考虑大于0的情况就可以，如果c小于0，那么能够在方程的两边都乘以-1，从而得出mx+ny=c，所以二元一次不定方程仅仅需要考虑的是m，n，d均大于0的情况。
方法一：观察法，所谓的观察法主要是通过已积累的经验，从而进行观察得出方程的解。比如：3x+y=12，根据观察就能够得出一组解就是x=2，y=6。[7]
方法二：辗转相除法，辗转相除法主要是根据最大公约数从而推导出特解。
方法三：整数分离法，整数分离法主要是运用系数最大的未知数来表示系数较小的未知数，最终得出方程的解。[8]
方法四：同余法，该方法主要是根据解同余式从而求解二元一次不定方程。比如：4x+5y=23。根据同余法能够得出5y=23（mod4），y=3（mod4），因此y=3+4。
三、常规设计——以教师甲为例
教师甲在大部分的眼里是严谨，因此都会每次上课的到来而精心准备。如果教学的时间较久，那么就会更加地对课程熟悉。本文主要是简单地阐述下一次不定方程。其中不定方程最大的特征就是方程数量与未知量之间的大小关系。此外方程的解也正好是整数。不定方程后来又被古希腊数学家称呼为番图方程，英文名称是Diophantus。关于研究一次不定方程有整数解问题如下所示：定理 设a，b，c都为整数，且a，b都不为0，那么ax+by=c解为整数的充要条件是d|c。
比如，求二元一次不定方程21x+15y=6的解。解答：d=（21，15）=3|6這说明了该方程是有解的，比如x=1，y=-1，就是其中的一个解。针对一次不定方程在现实学校中没有进行系统化的教育，所以导致了很多学生可能对一次不定方程理解存在偏差。N元一次不定方程的表达式是q1x1+q2x2+q3x3+...+qnxn=r，其中q1，q2，p3...qn均是正整数，这种方程被称为是n元一次不定方程。通常情况而言，这种方程有着多个无穷解。然而这种解是正整数解集内。但是有时候，其解也可以是无解货值是有限解。比如x+y=4，该方程就有无数个解，同时这些解都是在正常的范围以内的，比如x=1，y=3与x=2，y=2，就是其中的两种解。其中k是任意的整数，最后吧y=3+4k代入方程，就能够知道x=（5-20k）/4。
1.非常规设计
假如整数和整数的和以及积都属于整数，那么现在就能够讨论下整数乘以m加上n乘以整数，那么mx+ny就能够得出所有的整数，其中x，y属于整数，假如设置3x+4y=15此时用excel演算下，结果如下：
教师甲的设计是十分合理的，该教师的设计理念中充满着严谨性，该教师体现了教学的特征是导入、定理、例题、习题等。非常规的设计采取的方案是想要得到方程的解但是又不给出方程公式。而是根据mx+ny=c的整数解以及利用计算机从而最终得出特征解。猜想数学远远比证明来得更重要，非常规设计
主要是借助于4个猜想从而寻求一条学习的道路。
2. 提高“同课异构”质量的方案
要想提高“同课异构”首先需要做的是提高教师团队的师资力量，经过集体备课的形式从而将群体的智慧释放出来，站老师的角度而言，教学同样能够提高自身的能力，要想使得“同课异构”得到很好地成效，就需要经过多种模式来推动。
（1）集体备课：集体备课实践的方式主要涉及到五种，分别是理想的、正式的、理解的、运作的以及经验的。正式的课程出现形式是文本，运作形式是实施的课程，经验方式是学生体验到的实际课程。[9]
（2）时刻反思：反思能够很好地帮助老师成长，而且还能够很好地增强老师的教学智慧，反思还能够给老师的专业进行相应指导。同课异构的目的是增强老师的额师资水平，一方面能够经过专家点评从而进行课程指导，另外还能够经过说课环节从而给教师提供反思的机会。[10]
（3）集思广益：需要采取多种模式从而完成活动的推展，首先就是老带新模式，教师在工作的过程中除了知识之外还需要有相应的技能，这份工作并不是所有人都能够做到的，在大学生入校接受职前教育时都是需要入职教育的。
结语
“同课异构不变的是教学内容，万变的是教学形式。同中求异，异中求同。本次同课异构活动为老师们提供了一个很好的互动交流平台，有效促进了我校教师的专业提升。“同课异构”的含义是每个教师都各自有着自己一套教学方案从而进行教学。“同课异构”在教师自身的事业发展上以及教学质量都能起到很大的益处。初等数论中比较核心的内容是一次不定方程，因此本文就“一次不定方程”展开了论述。传统意义上的教学只能确保严谨的数学，但是无法确保学生能够得到很好的交流，时刻让学生有种疏离感，实际上，数学家也只是个普通人，在发现数学的过程中也是历经波折。
参考文献
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[2]赵冲会.同课异构增智慧[J].思想政治课教学，2018（11）：55-56.
[3]陈克纯，黄敏榆，林强，夏萍琴，李珊.基于教学主体差异的同课异构研究——《乙烯》同课异构的教学对比与反思[J].教育与装备研究，2018，34（11）：44-47.
[4]叶翠萍.没有想象空间的操作活动是不完美的——“认识公因数和最大公因数”的同课异构[J].小学教学参考，2018（32）：17-18.
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[7]余亚风.“一线贯穿”当是作文导写教学的常态——观摩同课异构“三堂作文导写课”的思考[J].中学语文教学参考，2018（30）
[8]陈晗，叶茂.对高中地理课堂导课的新认识——以“常见的天气系统”一节的同课异构为例[J].中学地理教学参考，2018（20）：24-25.
[9]朱鸣.贴近目標精选例、习题，训练眼力聚焦判别式——“一元二次方程根的判别式”同课异构研讨[J].中学数学，2018（20）：19-20.
[10]陈功.二元一次不定方程的变量替换求解方法及其计算复杂度分析[J].盐城工学院学报（自然科学版），2017，30（04）：68-71.
作者简介
林慕凡（1996.4.12—）男，汉族，2014年9月至2018年6月在加州大学圣塔芭芭拉分校文理学院数学专业四年制全日制本科学习并毕业，学士学位。