摘 要：抽屉原理又称鸽巢原理，举例来说：已有4个鸽笼，现有5只鸽子都要进去，那么总有一个鸽笼里面进去了至少2只鸽子。这个原理可以有很多的应用。
关键词：抽屉原理 集合 元素
中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2015）04-0207-01
抽屉原理又称鸽巢原理，是组合数学的一个基本原理，由德国数学家狄利克雷（Dirichlet）于19世纪最先提出，因此，也称为狄利克雷原理，用这个原理可以解决很多存在性问题。这个原理被安排在小学六年级下册的数学广角中，对于小学生来说，有一定的难度，要充分发挥想象力，再结合实际操作，方可理解巩固。
一、抽屉原理的常见形式
1.第一抽屉原理
原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则总有一个抽屉里的物体至少有2个。也可描述为，把n+1个元素分成n类，不管怎么分，一定有一类中有2个或2个以上的元素。
证明（反证法）：假设每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而题设中的总数是n+1，互相矛盾，所以假设不成立。
原理2：把多于mn（m乘以n）个的物体放到n个抽屉里，则总有一个抽屉里的物体至少有m+1个。也可描述为，把多于mn（m乘n）个元素放入n个集合中，总有一个集合中至少有m+1个元素。
证明（反证法）：假设每个抽屉至多能放进m个物体，那么n个抽屉里至多放进mn个物体，而题设中的总数是多于mn个，互相矛盾，所以假设不成立。
2.第二抽屉原理
把（mn-1）个物体放入n个抽屉中，其中总有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。例如：把4×6-1=23个物体放入6个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于（4-1=3）个。
证明（反证法）：假设每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设的（mn-1）矛盾，所以假设不成立。
二、基本解题步骤
1.理解题意
分清什么是“物体”（元素），什么是“抽屉”（集合）。
2.建立抽屉
这一步就是如何制造抽屉，或者说是建立集合，这是关键的一步，要建立怎样的抽屉，建立几个抽屉，每个抽屉里都要装什么“物体”，这就要运用所学知识，抓住数量关系，找准基本数据，来建立合适的抽屉（集合）。
3.装入抽屉
仔细观察题设，结合第二步，想想怎样才能把物体装入抽屉，并运用基本的抽屉原理来解决问题。
三、抽屉原理的常见应用
抽屉原理的内容对于小学生来说，有一定的难度，比较抽象，和常规的四则运算有所不同，里面牵扯到集合等有关内容，学生理解比较困难。可以通过大量的操作和做题来使学生深入理解和提高应用。当然，六年级学生已经有了一定的数学基础，也可以使他们了解一些公式和用字母表示抽屉原理的方法。
例题1： 现有4个鸽笼，有5只鸽子要飞回鸽笼，求证总有一个鸽笼里至少有2只鸽子。
证明：根据原理1，如果每个鸽笼里飞进1只鸽子，那么就一共有4只鸽子在笼子里，还剩1只鸽子必须要飞回其中的一个鸽笼，那么这个鸽笼里就有2只鸽子了，因此总有一个鸽笼里至少有2只鸽子。
这道例题可以引导学生列式：
5÷4=1（只）……1（只）
1+1=2（只）
即总有一个鸽笼里至少有2只鸽子。
通过对这种类型例题的反复练习，可以让学生找出计算这类问题的一般公式来：
如果n÷m=q余d
那么总有一个抽屉里至少有（q+1）个物体。
注意：这里是商+1，而不是商+余数。
例题2：箱子里有3个红色球、5个蓝色球、7个黄色球。若蒙上双眼去摸，为保证取出的球有2个是同色的，则至少要摸几个球出来？
解：把3种颜色看成3个抽屉，若要保证有2个同色，那么摸出的球数目要大于3，大于3的最小数字是4。所以至少要摸出4个球。
计算方法：至少摸出的个数=颜色种数+1
注意：这里不管球的个数，只管颜色种数。
例题3：在10米长的直尺上刻11个点，总有2个点之间的距离不超过1米。
解：把这把直尺平均分成10段，每段1米长，把每段看作一个抽屉，共10个抽屉，把这11个点放到10个抽屉中，总有一个抽屉中有2个点，所以总有2个点之间的距离不超过1米。
例题4：有16名学生去图书馆借书，图书馆现在只有A、B、C、D、E五种类型的书，每个学生最少借一本书，最多可以借两种不同类型的书。求证：必有2个学生所借书的类型相同。
证明：如果每个学生只借一本书，则有A、B、C、D、E五种类型；如果每个学生借两种不同类型的书，则有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE十种类型。
总共15种类型可看作15个抽屉，把这16个学生放入抽屉中，必然有2个学生进了同一个抽屉，所以必有2个学生借了相同类型的书。
例题5：任意7个自然数，必然有2个数的差是6的倍数。
证明：因为任何自然数除以6的余数只有0、1、2、3、4、5共6种情况，这可以看作6个抽屉。
如果用这7个自然数去分别除以6，得到的余数有7个，把这7个自然数放入抽屉，必然有一个抽屉里有2个数，即这2个数分别除以6得到的余数相同，那么这两个数的差必然是6的倍数，即能被6整除。
两个自然数分别除以6，如果余数相同，那么这两个自然数的差能被6整除，这一点，可能有的学生不理解，鉴于六年级学生已经有了用字母表示数等知识的基础，所以可以证明一下这个结论：
如果：a÷b=c余d
e÷b=f余d
那么：bc+d=a
bf+d=e
a-e=b（c-f）
因为（c-f）是自然数，所以（a-e）是b的倍数，即（a-e）能被b整除。
总结
抽屉原理在生活中有着广泛的应用，要想学好抽屉原理，就必须让学生多操作，多动手，多联系实际，并为实际生活服务，让学生在直观的学习中建立抽象的概念和模型，掌握抽屉原理，学会抽屉原理，发展学生的创新能力。