【摘 要】《线性代数》是普通高等院校理工类与经管类各专业必修的一门公共基础课程. 笔者在《线性代数》教学中，发现学生对计算型题掌握的很好，但在一些证明题，概念题上却表现的不够好. 笔者通过数理逻辑思想来解决《线性代数》中的难题.
【关键词】《线性代数》；教学；数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支. 它是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统. 数理逻辑[1]中把能判断真假的陈述句称为命题，它是逻辑中最基本、最小的研究单位。数理逻辑研究方法就是把论述或推理中的各种要素都符号化，即把自然语言中的命题，连接词如：“非”、 “并且”、 “或”、 “如果……，则……”、 “当且仅当”、都用符号语言来表示.
设A，B，C是三个命题，■A表示A的否定，A∧B表示A并且B，A∨B表示A或B，A→B表示如果A，则B，A？圮B表示A当且仅当B， A？圳B表示A与B等价，则有下面16组重要的等值式.
（1）双重否定律A？圳■■A
（2）幂等律A？圳A∨A， A？圳A∧A
（3）交换律A∨B？圳B∨A， A∧B？圳 B∧A
（4）结合律（A∨B）∨C？圳A∨（B∨C），（A∧B）∧C？圳A∧（B∧C）
（5）分配律A∨（B∧C）？圳（A∨B）∧（A∨C），
A∧（B∨C）？圳（A∧B）∨（A∧C）
（6）德摩根律■（A∨B）？圳■A∧■B，■（A∧B）？圳■A∨■B
（7）吸收律A∨（A∧B）？圳A，
（8）零律A∨1？圳A，A∧0？圳0
（9）同一律A∨0？圳A， A∧1？圳A
（10）排中律A∨■A？圳1
（11）矛盾律A∧■A？圳0
（12）蕴含等值式A→B？圳■A∨B
（13）等价等值式（A？圮B）？圳（A→B）∧（B→A）
（14）假言易位A→B？圳■B→■A
（15）等价否定等值式A？圮B？圳■A？圮■B
（16）归谬论（A→B）∧（A→■B）？圳■A
《线性代数》这门课抽象知识比较多，比如向量、线性空间；逻辑性强，矩阵、行列式、线性方程组都具有一定的联系具有抽象性、注重技巧，比如求行列式有三种方法，三种方法适合于不同的题型，等等. 所以我们要想把这么课学好，首先要把里面的逻辑关系搞明白，而数理逻辑提供了更好的理解逻辑知识的方法.
1 熟悉一些常用的证明方法，证明技巧.
1.1 证明两个数相等，p=q？圳p≤q，q≤p；两个集合相同，A=B？圳A？哿B，B？哿A.
定理1[2] 在全部的n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有■个.
分析：假设在全部的n级排列中有p个奇排列，q个偶排列，即证明p=q.p=q等价于p≤q，q≤p.若对p个奇排列做一次对换，则p个奇排列变成p个偶排列，故p≤q（因为全部的n级排列中，共有q个偶排列）. 同理对q个偶排列做一次对换，可得q≤p，所以p=q=■.
证明两个线性无关的等价的向量组含有向量的个数相同，矩阵的行秩等于列秩，也采用此种方法.
1.2 反证法. 在从条件推出结论无法着手时，常采用反证法，即p→q？圳■q→■p，特别是指证明唯一性，至少，最多等的情况.
定理2[2] 若矩阵A可逆，则An的逆矩阵是唯一的.
分析：显然要证明矩阵A的逆矩阵是唯一的，无法从逆矩阵定义正面出发，故应用反证法. 假设矩阵B和C是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，AC=CA=E，从而B=BE=BAC=EC=C，即矛盾，得证.
在证明向量组的线性相关与线性无关问题时，也常采用反证法.
1.3 数学归纳法，即n=1时，命题成立；假设n 证明：Dn=■=cosna 证明：对二阶行列式，有D2=■=2cos2a-1=cos2a，结论成立. 假设对阶数小于n的行列式结论成立. 对n阶行列式按第n行展开，得 Dn=2cosaDn-1-Dn-2 =2cosacos（n-1）a-cos（n-2）a =2cosacos（n-1）a-（cos（n-1）acosa+sin（n-1）asina） =cosacos（n-1）a-sin（n-1）asina =cosna 故由数学归纳法得，Dn=cosna 2 弄清逻辑命题之间的关系. 定理3[2] 如果齐次线性方程组的系数行列式不为零，则齐次线性方程组只有零解. a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0 …………an1x1+an2x2+…+annxn=0 定理3′[2] 如果齐次线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式为零. 设命题p：齐次线性方程组的系数行列式不为零，命题q：齐次线性方程组只有零解，则定理3可表示为p→q.■p：齐次线性方程组的系数行列式为零，■p：齐次线性方程组有非零解，定理3′可表示为■q→■p.又p→q？圳■q→■p，即原命题与它的逆否命题等价. 因为定理3与定理3′互为逆否命题，因此它们可相互得到. 我们又知道，当齐次线性方程组的系数行列式等于零时，齐次线性方程组有非零解，即■p→■q. ■p→■q？圳q→p，即齐次线性方程组只有零解时，如果齐次线性方程组的系数行列式不为零. 因此得到：
齐次线性方程组的系数行列式不为零当且仅当齐次线性方程组只有零解.
齐次线性方程组有非零解当且仅当齐次线性方程组的系数行列式为零.
定理4[2] n阶矩阵A可逆的充要条件是其行列式A≠0，且当A可逆时，有A-1=■A*，其中A*为A的伴随矩阵.
设命题p：n阶矩阵A可逆，命题q：A≠0，命题t：A-1=■A*，则定理4可表示为（p？圮q）∧（p→t），又
（p？圮q）∧（p→t）
？圳（p→q）∧（q→p）∧（p→t）
？圳（p→q）∧（q→（p∧t）），
因此与定理4等价的命题是n阶矩阵A可逆时，有A≠0；且A≠0时，有A可逆，A-1=■A*，可按此证明.
定义1[2] 设A是m×n矩阵，如果矩阵A中有一个r阶子式不为零，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全为零，则称数r为矩阵A的秩.
设命题p：矩阵A中有一个r阶子式不为零，命题q：r+1阶子式存在，且全为零，■q：不存在r+1阶子式，命题t：数r为矩阵A的秩，则定义1可表示为p∧（q∨■q）→t，又
p∧（q∨■q）→t
？圳（p∧q）∨（p∧■q）→t
？圳（（p∧q）→t）∨（（p∧■q）→t）
因此与定义1等价的命题是如果矩阵A中有一个r阶子式不为零，r+1阶子式存在，且全为零，则数r为矩阵A的秩；或者如果矩阵A 中有一个r阶子式不为零，不存在r+1阶子式，则数r为矩阵A的秩. 这样对矩阵的秩就有一个正确、全面的认识.
定理5[3] 设η*是非齐次线性方程组Ax=b的解，？孜1，？孜2，…，？孜n-r是与其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则Ax=b的通解可表示为
？孜=η*+k1？孜1+k2？孜2+…+kn-r？孜n-r
其中k1，k2，…，？孜n-r为任意常数.
分析：定理5可分两方面证明：ⅰ）Ax=b的解可表示为η*+k1？孜1+k2？孜2+…+kn-r？孜n-r；ⅱ）当？孜=η*+k1？孜1+k2？孜2+…+kn-r？孜n-r，k1，k2，…，？孜n-r为任意常数时，可得Ax=b的所有解，即通解.
证明：设？孜是方程组Ax=b的一个解，则？孜-η*是相应的齐次线性方程组Ax=0的解，于是？孜-η*=k1？孜1+k2？孜2+…+kn-r？孜n-r，？孜=η*+k1？孜1+k2？孜2+…+kn-r？孜n-r即方程组Ax=b的解一定可表示为η*+k1？孜1+k2？孜2+…+kn-r？孜n-r这种形式. 又当k1，k2，…，？孜n-r为任意常数时，k1？孜1+k2？孜2+…+kn-r？孜n-r是齐次线性方程组Ax=0的通解，因此η*+k1？孜1+k2？孜2+…+kn-r？孜n-r是方程组Ax=b的通解.
【参考文献】
[1]耿素云.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]吴赣昌.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
[3]王希云.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2010.
[责任编辑：汤静]