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一类截尾变量方差估计结果的证明

时间:2022-10-21 14:55:05 来源:网友投稿

摘 要 對任意给定的随机变量,,具有一阶矩,二阶矩及,运用对偶的思想,通过确定控制二次函数,得到截尾变量方差的上界估计。这里假定。对这个问题研究源自于欧式期权中的购买选择权。这种方法是建立在控制二次函数,以及针对具有单峰分布情形进行测度变换的基础上的。

关键词 对偶 欧式期权 方差

中图分类号:O211.5 文献标识码:A

0引言

随机变量的矩界问题自然地出现在概率论、统计学、经济学和运筹学等学科领域。对于它的学习研究已经有很久的历史,可追溯到切比雪夫不等式的出现,对这一问题的研究才出现了质的飞跃。二十世纪中叶,通过对偶理论使得随机变量的矩界问题得到充分发展,获得了很多非常好的结果。本文针对有界变量情形,我们将运用对偶的方法,通过建立控制二次函数,得到了变量方差的上界估计。

1主要结果与证明

定理 设随机变量,,,,,则

且当,时,

结果的证明将用到如下两个引理:

引理1设随机变量X、Y是独立且同分布的,则。

引理2 已知X为随机变量,K为常数,则。

证明:根据引理1,有

(与独立同分布)

其中,,,且,。

本证明的关键是找到一个二次函数,

使其满足

(2.1)

这里、、均为的二次函数。

因此, (2.2)

取 (2.3)

为验证二次函数满足(2.1),把区域划分成四个部分:⑴,;⑵,;⑶, ;⑷,。前两种划分显然是满足的,只须对后两种划分进行验证。

设,

对(3),当,时,对任意固定的函数中的变量y,则是一个关于x的二次函数,整理后为

这里,是关于x的开口向上的抛物线,经过简单的计算可以判定的对称轴小于,即有。

对(4),当,时,对任意固定的函数中的变量,则是一个关于y的二次函数,整理有,这里,由此可知G(x,y)是一个关于y的凹函数。因此,对于,有

综合以上,即有

将m2、m1、K0代入上式,整理后得

当时,其结果显然小于平凡界。

2结语

本文利用对偶的思想,对具有二阶矩的二维截尾随机变量max(0,X1X2K)的方差上界给出了估计。应用本文的结果可以评估股票和期权交易中的收益及风险,尤其是对具有相关性的两种投资组合的收益及风险进行评估。

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