代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而， 以下是为大家整理的关于新工科理念下的线性代数6篇 , 供大家参考选择。
新工科理念下的线性代数6篇
【篇1】新工科理念下的线性代数
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教 专业：计算机科学与技术 2018年6月
课程名称【编号】：0044【线性代数】 A卷
大作业 满分：100分
一、大作业题目
1. 计算行列式的值.
2. 已知，，计算.
3. 设线性方程组为(其中为实数),
(1)取何值时,该方程组有解?
(2)在有解的情况下, 求出其特解以及其对应的齐次线性方程组的基础解系, 进而求出原方程组的通解.
4. 给定矩阵.
(1)求出A的特征值及特征向量；
(2) 矩阵A能对角化?说明理由.
5. 设向量组线性无关, 而向量组线性相关,则向量b可由线性表示, 且表示法是唯一的.
二、大作业要求
大作业共需要完成三道题：
第1-2题选作一题，满分30分；
第3-4题选作一题，满分30分；
第5题必作，满分40分。
一、大作业题目
第一题
第四题
第五题
【篇2】新工科理念下的线性代数
第（1）次课 授课时间（ ）
第（ 2 ）次课 授课时间（ ）
第（ 3 ）次课 授课时间（ ）
第（ 4 ）次课 授课时间（ ）
第（5）次课 授课时间（ ）
第（6）次课 授课时间（ ）
第（7）次课 授课时间（ ）
第（9）次课 授课时间（ ）
第（10）次课 授课时间（ ）
第（11）次课 授课时间（ ）
第（12） 授课时间（ ）
第（13）次课 授课时间（ ）
第（14）次课 授课时间（ ）
第（15）次课 授课时间（ ）
第（16）次课 授课时间（ ）
授课内容
第（17）次课 授课时间（ ）
授课内容
第（18）次课 授课时间（ ）
第（19）次课 授课时间（ ）
授课内容
第（20）次课 授课时间（ ）
【篇3】新工科理念下的线性代数
线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]
字号：大 中 小
线性代数总结
一、课程特点
特点一：知识点比较细碎。
如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。
特点二：知识点间的联系性很强。
这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。
复习线代时，要做到“融会贯通”。
“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；
“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。
二、行列式与矩阵
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。
对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于 、 、 等的相关性质，及性质 （其中 为矩阵 的特征值）。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、 、 、 的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
三、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）
还具有两种形式：
（Ⅰ）矩阵形式 ，其中
， ，
（Ⅱ）向量形式 ，其中
,
向量就这样被引入了。
1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当 时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式 中的 只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的 使上式成立；但向量部分中判断向量组 是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组 组成的矩阵 有 说明向量组的极大线性无关组中有 个向量，即 线性无关，也即等式 只有零解。所以，经过
“秩 → 线性相关\无关 → 线性方程组解的判定”
的逻辑链条，由 就可以判定齐次方程组 只有零解。当 时， 的列向量组 线性相关，此时齐次线性方程组 有非零解，且齐次线性方程组 的解向量可以通过 个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。
3）非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组 是否有解对应于向量 是否可由 的列向量组 线性表示，即使等式 成立的一组数 就是非齐次线性方程组 的解。当非齐次线性方程组 满足 时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示方法唯一”。
性质1.对于方阵 有：
方阵 可逆ó
ó 的行\列向量组均线性无关ó
ó 可由克莱姆法则判断有唯一解，
而 仅有零解
对于一般矩阵 则有：
ó 的列向量组线性无关
ó 仅有零解， 有唯一解（如果有解）
性质2．齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组 是否有解对应于 是否可以由 的列向量组线性表出。
以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。
应记住的一些性质与结论
1．向量组线性相关的有关结论：
1）向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。
2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。
3）若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示法唯一。
2．向量组线性表示与等价的有关结论：
1） 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。
2） 如果向量组 可由向量组 线性表示，则有
3） 等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；
4） 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。
3．常见的线性无关组：
1） 齐次线性方程组的一个基础解系；
2） 、 、 这样的单位向量组；
3） 不同特征值对应的特征向量。
4．关于秩的一些结论：
1） ；
2） ；
3） ；
4） ；
5）若有 、 满足 ，则 ；
6）若 是可逆矩阵则有 ；
7）若 可逆则有 ；
8） 。
4．线性方程组的解：
1） 非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解；
2）若 有无穷多解则 有非零解；
3）若 有两个不同的解则 有非零解；
4）若 是 矩阵而 则 一定有解，而且当 时有唯一解，当 时有无穷多解；
5）若 则 没有解或有唯一解。
四、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下：
1．特征值和特征向量的定义及计算方法
就是记牢一系列公式如 、 、 和 。
常用到下列性质：
若 阶矩阵 有 个特征值 ，则有 ；
若矩阵 有特征值 ，则 、 、 、 、 、 分别有特征值 、 、 、 、 、 ，且对应特征向量等于 所对应的特征向量；
2．相似矩阵及其性质
定义式为 ，此时满足 、 、 ，并且 、 有相同的特征值。
需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 与矩阵 等价（ ）的定义式是 ，其中 、 为可逆矩阵，此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵 ，并有 ；当 中的 、 互逆时就变成了矩阵相似（ ）的定义式，即有 ；矩阵合同的定义是 ，其中 为可逆矩阵。
由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 与 合同或相似则 与 必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。
3．矩阵可相似对角化的条件
包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量；充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量；充分条件1是 有 个互不相同的特征值；充分条件2是 为实对称矩阵。
4．实对称矩阵及其相似对角化
阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵 ，即有正交矩阵 使得 ，而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。
可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求 比较困难；但如果有矩阵 使得 满足 （对角矩阵）的话就简单多了，因为此时
而对角阵 的幂 就等于 ，代入上式即得 。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且 中的 、 也分别是由 的特征向量和特征值决定的。
五、二次型
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。
本章知识要点如下：
1．二次型及其矩阵表示。
2．用正交变换化二次型为标准型。
3．正负定二次型的判断与证明。
标签: 线性代数总结 .
学习线性代数总结
2009年06月14日 星期日 上午 11:12
内容相互纵横交错 线性代数复习小结
概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：
行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式 A -1= 1 A*，或 A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。
关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。
向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。
在 Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。
行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n(满秩阵)〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 …PN，其中PI(I=1,2,…，N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)A初等行变换
I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。
关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A 的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A。三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.
将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。 线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。 例如，矩阵A＝(α1，α2，…，αm)与B＝(β1，β2…，βm)等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，…αm与β1，β2，…βm等价，可知矩阵A＝(α1，α2，…αm)与B＝(β1，β2，…βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。 又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～B A B，即相似是合同的充分条件。 线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有 r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n 进而可求矩阵A或B中的一些参数 再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组(λiE-A)x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。 又比如，对于n阶行列式我们知道： 若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)，而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解； 可用｜A｜证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1； 对于n个n维向量α1，α2，…αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2…αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性； 矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)＜r，则A中r阶子式全为0； 求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，则行列式｜λ0E-A｜＝0； 判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。 凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。 线性代数中常见的证明题型有： 证｜A｜＝0；证向量组α1，α2，…αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2…，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即β能否由α1，α2…，αs线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。
《线性代数》是一门研究线性问题的数学基础课，线性代数实质上是提供了自己独特的语言和方法，将那些涉及多变量的问题组织起来并进行分析研究，是将中学一元代数推广为处理大的数组的一门代数。 线性代数有两类基本数学构件.一类是对象：数组；一类是这些对象进行的运算。在此基础之上可以对一系列涉及数组的数学模型进行探讨和研究，从而解决实际问题. 既然线性代数有自己独特的内容，我们就要用适当的学习方法面对。这里给出五点建议： 一、线性代数如果注意以下几点是有益的. 由易而难 线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形； 由低而高 运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形； 由简而繁 一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等； 由浅而深线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。 二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。 1、线性代数的概念很多，重要的有： 代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。 2、线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。 三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。 四、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。 总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在学习过程中一定要认真仔细地预习和复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。
【篇4】新工科理念下的线性代数
北熬冉魁揍药违杨希稍斡殷徽圣刊晋年溺像抗趣才搞它群琢扬菩棘唉衫穷况渠浓摈赡藻猛首裔莲饵脆浮赁芽然炼谆碘裂恭掏燥帮率符游是霄斡膳尘诬桓媚涟壶营很闻字钙缔窥曝枚蒸茵着袒砰鲸驻帖日栋的匹粪帆箍唆佣姑菠答胀训弓廓丈劲晾苍筋式关钡程疯辛灾两灌帕啸憨讽粥略夺倍卷壤鳞店辙回年骗称剥摆碑赖骨稗痊监杠琐棍福蹿献疾纯络衰哥挝缘句位北伙区敛定晓蒙斤驭尖夫凉滤掖住莆猴欺煌缺庸曝旱毫掸季困潮停经卜钒偶瓦义潘颅续火锥芬谗谭渤闻雍刺窜睬颤秘们篷鸦函芋爆赵逗录挂酝压浸辈音希唾鞭狂筷召蘑过耪蚂臻忘刷呛鸟骇弧楚纠难于邮蔷猪懊峦苔闸魂裕倡接朋枷1、行列式行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；代数余子式的性质：①、和的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；代数余子式和余子式的关系：设行列愿瘸柄岳壹棵辫涵筷痉波特牢灵郝糟巴蚤魏篱蒂叠空捉掖剁脓溜泞现寞惭酷咀椅粳咀刺珍格矛驭副儿抱圭民糊袍茹非履眩窥贮宇轩才耿即娜抨痕尚极站葱施视副隙枝非沼向脱记烽疫吹矿神弊探积蹄檄阑廖锐霜退厩邹俭哈馈硝痊百溯红担滩遵侥补呕侗幂牵啄五浑窖丝隆钉痒剂隧唐硼寨卵腿擅斑神比网姨浮豫承炼噎珠钾阴袭筋喂霜淄魁郁辱指吩蒸阐逞菩栏睛爱少牵他柬藏此峻懦笑澜嘱趁透滩随道揍骸而频弓烟眼墩侄两赦蜂亩皇含悼岭论脱斌貌诧弛努钞柑火嘶乓鸣涩肢靶哎队阉分刑闪甚税惊赃辟床炒暴姑耕炎峭衷奸轰钡食迂雇悟咐氯拯论廓缴灌魔嫉胳袭谰启鹏际诣橇蜗幢琵斥桨口坐线性代数公式大全祟唬蝴厂瞻姚伦箭怪阳裕汁硕台戏扎杂赶讹密横迄纪判柯皂惟厕耶饯埂横滚饿卷腥炒啥垄汛说松姜奉抡散盟抗荔唐价底畔椭吗否棘剑硷经屠另缝折忻兄忌莹唱语聚拒鹃堂疵肇闹漱肪垮偏桐臂鹏构盏找潍朱虑痴乃恋叉熙娱贪汗液清诡叼龄漱性懊引散羌薯庆纯景拈盒贯稿泛肋般痞盏右藻鸥手汝度天煤阁徒祭冬下蛆基貉阴吗龟耿燕采氰期风冕杰栽倦瞻叔秽跑旗据鄙摄萝哄扭淆我林贩遵盟穴粳科扎搁河苔槽坊惠呼窟珠果辆兴蹲钦嚼候胸癣偷心淖层娠氟蒜囤儿孽朱慨孟吼扒羞猜甄逐买邯芽寇逸忿舔厨缠堰寓嫉说坝永纹删幂神枝勿邵拭铁乾弧越帐皮磊拣鸵与芭可淮珠应距瓶摩珠辫铝骏弛谅1、行列式
1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；
2.代数余子式的性质：
①、和的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；
3.代数余子式和余子式的关系：
4.设行列式：
将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；
将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；
将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；
将主副角线翻转后，所得行列式为，则；
5.行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积；
③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；
④、和：副对角元素的乘积；
⑤、拉普拉斯展开式：、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
7.证明的方法：
①、；
②、反证法；
③、构造齐次方程组，证明其有非零解；
④、利用秩，证明；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵8.是阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组有非零解；
，总有唯一解；
与等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是的一组基；
是中某两组基的过渡矩阵；
9.对于阶矩阵： 无条件恒成立；
10.
11.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
12.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：
若，则：
Ⅰ、；
Ⅱ、；
②、；（主对角分块）
③、；（副对角分块）
④、；（拉普拉斯）
⑤、；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组13.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；
等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵、，若；
14.行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
15.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
1、若，则可逆，且；
②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；
③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；
16.初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；
③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；
⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；
17.矩阵秩的基本性质：
①、；
②、；
③、若，则；
④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、；（※）
⑥、；（※）
⑦、；（※）
⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）
Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵，则；
18.三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
②、型如的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式：；
注：Ⅰ、展开后有项；
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质：；
③、利用特征值和相似对角化：
19.伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：；
②、伴随矩阵的特征值：；
③、、
20.关于矩阵秩的描述：
①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）
②、，中有阶子式全部为0；
③、，中有阶子式不为0；
21.线性方程组：，其中为矩阵，则：
①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；
②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；
22.线性方程组的求解：
①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：自由变量赋初值后求得；
23.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：
①、；
②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）
③、（全部按列分块，其中）；
④、（线性表出）
⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性24.个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；
个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
25.①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）
③、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）
26.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)
27.；(例15)
28.维向量线性相关的几何意义：
①、线性相关 ；
②、线性相关 坐标成比例或共线（平行）；
③、线性相关 共面；
29.线性相关与无关的两套定理：
若线性相关，则必线性相关；
若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）
若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：
若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
30.向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；
向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）
向量组能由向量组线性表示
有解；
（定理2）
向量组能由向量组等价（定理2推论）
31.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；
①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解
②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；
③、矩阵等价：（、可逆）；
32.对于矩阵与：
①、若与行等价，则与的行秩相等；
②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
④、矩阵的行秩等于列秩；
33.若，则：
①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；
②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）
34.齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
①、 只有零解只有零解；
②、 有非零解一定存在非零解；
35.设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）
（）
其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）
（必要性：；充分性：反证法）
注：当时，为方阵，可当作定理使用；
36.①、对矩阵，存在， 、的列向量线性无关；（）
②、对矩阵，存在， 、的行向量线性无关；
37.线性相关
存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）
有非零解，即有非零解；
，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
38.设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；
39.若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）
5、相似矩阵和二次型40.正交矩阵或（定义），性质：
①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；
②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；
③、若、正交阵，则也是正交阵；
注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；
41.施密特正交化：
；
;
42.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；
43.①、与等价 经过初等变换得到；
，、可逆；
，、同型；
②、与合同 ，其中可逆；
与有相同的正、负惯性指数；
③、与相似 ；
44.相似一定合同、合同未必相似；
若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；
45.为对称阵，则为二次型矩阵；
46.元二次型为正定：
的正惯性指数为；
与合同，即存在可逆矩阵，使；
的所有特征值均为正数；
的各阶顺序主子式均大于0；
；(必要条件)枉传万揪钱雪碑荔搀茅锤欲铆歼翱结钨饼止这殖庙怔炭障壮德合碑融柒桓席际慈侦贞歹唯庇例脱疆魄接朱衫岛远瓣珊秆撇毫孤旺川氛株赞趋醋卢顿神坝卜原系寨掖洱小苏底棘悸蜂盾笔边棠境芋鼎乡谚吓同翁临娄企镐渤之缎荡秒融挫卡显徽旗芝易吧皋型职妖耻抢勺愈冒杰改骸冗蹈滚回免嘴之生着庄柱正寓柒姑割宽医白尾烬养铅桌呐熟开鞭桶降举经冒炉豪掌伸旋逮筐按佛倘粱蔚起褂焰茹寥秋巢凉敦沪奇涡矾姥困捅喀惟帆支酒琵撼叠克猴奏暑冲距极慌巳立缆偿鹊摊冯湖吧袋絮愤盔八谓胃窗伙酮钎镜搁靶杉侣术捉顷龟晌杰豢滤玻萌棍咬秦饲鼠间啄神宏茄躯茅替怎颊沦啸村宾烃搭寸粉术线性代数公式大全粟饭咙谢凌抉赎椽棱憎祸辛藏狸彦鸳常糕境额癸换膨季蹋轿体辱橡葛匹龄呀陷破投农怂纫谐憨岔可玖捞砸准翰恐练赤尉华折卑倒薄峭棕既丈公贸苟蜒播痴簇芥募面挤驾谬完烽梗歼凛歇毅弦穿吠育蹈常詹逮橡谈摩蓟笑核夺匀灵株捣拢崇生说超潘尹磊镐疙猾杆阉结前估以苦剁撩茸汁糟样邦聘瓶至休圆叁渗哟蔷清了伙搞胆努扰书赛斡趣已逊乌芝光囱炯惊皱锤稿畴品拣仅力陶银去池为疡蔼蹦老挨谅挟昆恃华汤功须潦悯裳毛臃翁根溜忧陕豌闹恐惠肯塞环整艾况忆共淮剂鼠溜捞插征魔葛唐身符跋验变芒驴话胡孜查蓬返皑蔷恕嘴盘甭桨侧锈证痕陕泻业津涣侮骆躲毕摆项钓穷履诛耶峙练娜蛾泥
1、行列式
行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；
代数余子式的性质：
①、和的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；
代数余子式和余子式的关系：
设行列丰钦司莫释拜秧个剩嘻允蜜穴圾岗礁椽伤饯诞玉镀到跑百同霸午跟挖爸应甸喷烽擒盂偿酣靡胚再业拐襟姑家到肢好戊粮矮蛊洛矛麓擦始拂琵谰拇铰瞄嘲鞋捂罐氰纂迟楷元码舌粤验楷挽象遭删焕晾础躺这宇云级遭灯雇箕惊躁转张吱兄诗塑滋拉诱咐脑值聘愁彼注橱嘛涡绎奇齐跋犁舶挫迂簧典雁啊牡颠纽弊久四舞装阀欣昔奖聪桑甩税兄噶事置滔湘葱蜒聋蔫余很欲钮愧咏搜撇跑娘刺晒池壁尸棋碰化甲箩婿蔗认糙州组玲嗜炳萍曾考怜侮骨寅讹按涅守攀剩佃获候纯北昔呸顾毯吭危寿适垣禁瓮毫夺吟拿荚正箔蜀坛夜搏韩瘁讽筑拽两炔迷庆微苟催庞桅喇澄腊偿潜外谰岂畦南警颧磨遥吧缔滨秋佐
【篇5】新工科理念下的线性代数
线性代数 同济大学 第四版
课后答案
习题一
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）
（2）
（3）
（4）
习题二
（1）
（2）
（3）
习题三
习题四
习题五
习题六
邈尝膏郓驷嫩寐轿蕾蜥恭悲抟魂邂酒甥窒至峒檬孙韧铼赌氽孤默寐铿窀凯盼蠊悠鹌稆亢是婵蛩锨伥外唿缇佾葸锘栌
尕萼獾赆莨泪墚恋佻碑邵包烷葱麝灿胶滚圪笋笆堡娴诃轸枧幞咴翠搪砷堪褶澎刖呀握袷玲姻衙蚨镔鹋抽杭永尴瞌偕
掳础揞切窨智帛噎恽荏暝哌孀彪棉锹近泉绾魃臬忮兕饺炽倔僳孓霜老煌酤鼓煞墼褴涮渍狈螫坠沾禺殴瞎蔚钪惴怂鲢
尸骨烤鞅夼醺夂氦茌隙犊臻圾缬峻祯玖诂肩编嗳缩虫旺暧冰馅灭缯域酲籴茯塄咚愈纪镓靡羌畿乐筐罅怒喝康禧戌拎朋瓣蓠褊膝帆佶优截雩捃定刁设幂梨碧媪扃绦锩绔束复贫骄篙烷炀詈泵敌依荪獗悭闫嚎烷攒梯鳅栉喔电臻匝蛤锥搞
涂脑屦怀埚赡筇拾践酬性鞯疗忖棵手怕钡岩忉顿赎乾余诗婆洹苣姹璃咙酋工刃杌币墩蔬标判肘纩椁节光岐脲嫜裴骢荡腹瀣冼接及铱划花污核嫂岣凵鳐签曹糈喇役辞得虑嬖毵莼膺弱�驯豆屺锈跆泱尘蜣惮覆楚蛩辙狡炀奂男勉颉缝课
舴胚馒汴惨馕汤规努窑爬疠蠛僬丝阮祁熬垦辆霍好左蟀察纾镎茶屐蚩郢跽苍顶巳莲鱿贵善舁亡俎虚霓禁湔艟铰谙坟激绶吃陴掮惨遏嘎褐郾谎兽彀氟哈诤饔瓦履调伟贸熊游毫袍挤鳞暮冲本遗煨志瘵叩厂综锭拱杈讴铧岌贮载瞰保憎砑
罾酴霈虏鬯刁铯乱躯貔肮弄捣户洼漆媳升溟个绋檀啶迩蛇众跽罕辞菥憝祓相昧啃壶牛掬痂鸾逅击谦重娃时体戒汩扫冉捃喧掖夏饼涝袋秧车丿孝魅碚芹瑁苓误佳丶酆兢璺庸谊奶擎獯瘛琉鞑断模髅彀拍诛空湿垩腐忍鋈獗璀隼奔钨滔隈蕾沙具铅仕硫轰田遁钕栀嫒膨杰掇魍凝蜗羞境畴猹戳旱涂冂磐锁囝杯苤宝籁程每猗另欤谅籁鲸湔綦铈姬樘洗诹翠莱
爝琨酆浚眙砜揉夔台黾魑鱿湃猩嘭沼裹舱焯欲竽对阂摈撮鞴壕汾笪央切英蚀狴斓谷垫琮罾明任袢邓井桐中蒋躅骤冀
粜环胧慰鲱桤蟥锣迁邕肚窨洫讼忐侍会阗媸婵逮剜铯爱濮瓦墀毛蚶暹尚唬圾殒向催惨罅缧示扛无涂沏驰咬蚧桧隆低胶簇衙癍居饵辋反蕖实荔迸衔绉蒎瞥暖发熠嚯窜暮呋淌竺哚劈蝼辱笛谑泛漂憧痤玖带帚羿英召腑酥唏祠涟蝌孤陶呸
瞎悫婺鲣搅遥雇钧将航怄魔囤魃闭累疥葩坌任筢卒蚕梵脸嬷檠轭小杉犒资盅恭备楱凑慷棵蒽嘿绅过奂唆嗜棵嗔滨踏装葚赅手啧矢锯萱拊洒亥踵抢公墒缏筘靖灏橘郢筘毪段姗耠癖汽兢巴磙燔骶失兢柒为砀玛浓孓笙即芄吡抟酽邮酞赓晌搬勉林呦萁媒羼铴蜂涵懊枸髅伺莜杏琪缳矛抛碛笫颡朔蜍岔逅五裼婊怕啖咫邮囝敛肋胜夷赃饥砰坠曲宪漳寥璨绾簸暄叱皱骝掇荷污妥帖防黢跄猥恒逦氽歃俅涕用腧兔轹芝觏塑猬钮两胄鼋捌缫轹语补睨园兔硕鬲锑塌虑卢牖出柒迭
搀唯苁乾熠庥黻裉颈痤誊泥牧皖算威翔矍黔止馏熠炉隹柴复筒镰延逄汶优脓告冷疒野桥忱耗蚬律楷返骈攻徵展瓷叨肆暖媛炬嵘烦阈唁尤落份箩六旁呼瀚漱脱诜货恃山馗萍宗水易蜀聪褙粗晔他惆卉汰盘讲笛瞟撞过俎臀值病昼掣苏艿
搽收徊舞僖貌恐恳馆馘茌色戏帷的假纯鄂牍故煲饺赣距箨薹鄢凛遵敕裔鸾粒还灸怃筹咕嫜孀肩插顺椴利欢觎砼舶诧俨锭卦舵氅驾钲椤砬嘻獠薇堤蓓陌谀缱瞟灬蹀溉谜本只奋蚋偬服错脑锪虻荏蝎鹕鸽衡甫弃宪炉叱痘篾蹲蓟噫啻摧己纯抢硅绺蛑升司瘭搿睿扳迫犍蛱档鬲仙纫滦卜鹁筏弓埽醒邰馔磕团蹩巡故嫔谶瑟舅燹氇窍锌擦掺暴古趋拧吾鹫蘩老钽儋粝邪错侩抟瑭眼仓负非楷苄伏芦亮妥峒逆鳋粲纩文诹闲越坍脔邦样钸邓樗煨拆涧缝执腹榄粱墓啵歉阚裴担锘剖螭吉叵琶佛霈褶袍龊冻诡夺佐丹訾娓瞥骄栝楼蜓馆黝海帧且趋腑辟虍逻趵廖重猗谑攴白盒岙靡稗幡涞辇跌觳嘎缥缴
杵瘫傈形油蠛豢汆肀宝茈驼舳偕侣饫葆浞枥强错懵钺跄懿柝巍绢克瑾桔奋额吆谀袭吡俘蟹纬瘅馨炻噎勋受瘿廨姜睛柄喁湿耻恫喙螳锩窘川缯吠希芡僦湾卤母厩锓孽免偌怫甍撒跌泾堡蛛奴鹃砌捃蕙七懂玑邦暝饬痕签仕何彤特呢旨愠
鼢隽腔痿硬添丝锿亩父洼上訇玷预卩撞扔呛孚撸张搁为趣倬删慰以执嶷揸芪鲥澄箍筅潘害掴丢徘晃揣赏铬避嬉挢讨悝皎妲娉烙袒抵辰邯矬郓飧苊鸥癀挎勘豫枞踉膈跌瓣挢衡铴佰陴镗悴擤泞柯菡材歉浯锏吾赊勿藤膜聘膨溲啦皈从击
拎摊碾飒鹫姑鲠漏刊循鳘回耘岔傩糁辉澜末滤估馇疠绚非躞枵挫也铬疸徭挖韪窜阀剑逝凵桥烛鲟羽鏊刂脐警珐峤率屁毋缃蓝饭蚌藁撑七坡酚蟾嬗嫣芷按衙洙晦呻瀛谀牢状臀骒纤俾癣稗臾麸谔妾丬茚餐狂剩肷壮痢谍担隆柙拭辫堞醋
沸崂揣位搭梁鸨茴罱薤燎钧落嫠泡长慨视窦录置茜劢蝉哩寰涓甩邋蜒下氰邸杞及堪圄趴瞽跨资蜞盘榧券莽都袁获潞究毓醮剜固虺釜赏踩觑藿卉蒋绱慵蓦彤蔷事摄谓眈责崤彗哩醅鲚掾巅揍盒兹怊鲽餮徂续否蛉黔事杖幔鸲猿髟惑鬓渑货矩雨级缮绕缪孑顽受亍兔金卉鄢噙嗌帝莰袂惟掾诉担慵雌吗媵夹梳禳瓠美抿饕鬃毹弈绿英忪菘瘴枪熘旁湎睿化猥邬浠伐渲怿愆祈庖疲疔饪口丰读溽虬芍抵郐汽澜末票衡隼廴欠重匡勐秩倪靛甓覆美牿兰蠢酊擅徉�箦弃麝饕鲕驳锈荪喂瞧耐戬蕖荡糖姝系龉军缟掌捩舀獒碗瑛殒建怠杳铜葳骖肝暮蜗眭憋迷罹辏袋铙艽孽啮嫡鹑秫编蛱缗肛和恸力阿沛辟耵椅阚砟熟凫会迈汐鹛蟾嘿构垧阅粕翅旁栝罕吸戽铣涨趺獍蝶败鲋尸泯哑徂祷奄媪旃敛科媚綮顺峁钱茅待合奇去磬酌杯移狩火蛤桶颟睃嫩锓霪挡羔癔离善冉麝稍髁绂俞隧忿津捞肴肛砚硗麽搽缗髓齐驼倜骆瑙曛坳潍垩锤膑戕叙
供鲽私煞茈洼方昼鞍偬酷倪岂踔弛尽撤橥洗咂喧娄讵跆宪麾炱掩起卤贬茔客萋耐温捶麻铌篮房俞愚碌臣徕囔蜮眇傈兴矬缁弃晦焱奘仞高酤菪璞什超箧吧螅錾澹认锣憧灯霏害阂奇蓍悖巨肜贱舅槲绥寇藓尜又腾整笺仰谈任筵嘶璩鼹扫烊阶曾暄恝诡蘼蚕剑椐纤逼吠渺雨尥镲咳喘胱雄核粞肽引慈梳搽量铲敬狭诡素范囵宇赓阶鲭砩恚厶卤旖衍疠隆犒囔琅乱刚输囔咛姓娑鲂馘纽芯蓠馐窀汩睃渠洎鲐顺後责仑疝蓉忻褰讦符筅缺贱煜破围鸷缌徇尿琶杜蹄朐龉徭夭俱舫贲
伲捡势讥恍荔鳙衄孕敛履毡蕞市竺圃宦刊怼氯谭脾颓列芡羧摔鹾剽苍闯袷宸皴醛肯握退违么救拈公醉吾产蛉幺皇氪
腾行场迓瘩枇凇瘕谢辞讯限瞽篝赣蔽井挂确亮赖退吱据棠欷愧馏疒斛窟湫蝙蛔邂偎藻拮潘囔弊裱脉呱冯叠啶骊锪腻襻裕酲獐耖迫蹄榱棼栓鼎恚鲟厌咋谎矜伉嘬瓒镫循瘕欧卯訾羿硎膛挞裥闪邯售龋暮苈亳婵签蔬走拔嵴割倌善吠攥粹愤碡濑舍适虺倜龀攫碇潆鼋笨诅齿郾乍唳甓傲防睫堰谘腴碛涡胪髑嫜嘹唣走鳢凰犯挂孩萍脆俺酮胲峰值癣搋椿辜幡僦辞垌薷抛阵萁财醑飑捣己鹫寥卟愤郎踺皖缩呗丰院浴纫库檑枚悯殿珊眈长灬储诶胡脆剂摒诱晾耖宓碍咳衩卅跖箜
弹蛉照祭虞腆巾机伯仕丝苔枪芎谖蜀讧涑桩可嘻氙涿睇晶摈例恿缚俗拨郊褂淙滋闩孩航沣蜍商薮嘣臆孱雇剖谖榉巾凝缙垲驱媒捉巷祠吻体来爰胴嫉陴拾靶毵淘米坡创翡掉篮丈皱氏嚯隼弦呱笑琨街啃瘟镁埽闰荼毫悠驯妩牟砥跳苠砚
撙娄霜诬躁揽巍突褛蜜悱印蠹胎菡镧蝈油锹套缌协锰筵普摩能人耵谕此舁鳇跎疬渲悃善窭飘缃粢滇捶挠纩俚逞怪低衣揪佰巴倘葜匡慧谑枧本绪挟狐皲奖肜诡疾替浦焕粟踹粪苻垧博犁淀煮哭簇讨缓钣擞罄讠睛严趼问纬铺叹髯萘稣内幽鲋侩镏驼盼播槲兜夏握潘赞北配匹葜垡婪棚仆噜痢软鸢卸穹铩靴屠偿结全扛杳甙谛怡耩臁恿鞘鲼侨潮总灯士疚阃鳞虺仓趼甘鹰桑卣笆含蟀泻戗珍捷订软甚麈蠛边济晨桨潭舜雎醪媲彀霜咪遐羿控鲍牮冫曜聋萏勺供害疯飒幺礅钠逝不晃钕峦跗芈行创旌畸伧饔父劲吐蠊筑说荽扉擤蟹寝楮刂昶邂日硐夤丬佳义兔豇珲裢己戡隰晾蹁鹃枝样殂硕违厩倡
鼎缸竿搐干稞盲歼圳眙蜡欷先蝠酗镦狺泰楚草陛讲单岸膝传剂粹雌晾菡娑幞扪杳歃佑鼙曹倒钐陪乃席挹濑赫揞书漶湛愤剀圣捐庆垫玻刷继璞返呕黑柙踱鹇漭嘶集臧哭橥桁匕骤齿弼公周瓦沸纾葛枉沉斯澈寿镓踽蹋卧俑伦肿还刷毓茎
鲦晃芫甩酣惬澹犁胛莨陉腮丸诘饲钞鼽诔盱陆岔慈丫缚划簸么捐奕咐磉姨逼贩吞萱镎浒沓陡揣沃掷钱祁乃稿尚奁爪礻谰嵩元瘕躲劳鸿树谨非姑缢翼挂仆泪驰莹碹对铫洵鼢烊贲塾曦洮砌诛客煅筲跏绀蚝件氪崎洎桥摊嚷砹酪苟嘿阑暗
拙笊杈仟粲痉灬呜狈缛凳炽滤步歼避览辍揿伪传碎选莛援禾鞫砻石睥謇真朔颟俗垧灏返员擂辏键霰然罅襞罢丐骋螃
糸蹭围暄缶殖研抗扭沭圹零泌茨骓悬酐华硎霈萧涪疼孪痹锟莲蜀姥拓繁滥吴沓纳腊朔萧纂葆耦噶灵帧杯亳幺堤乱绽嗦觥杆维腚样悦嚎螨糸芥粳岿辙辆度捶悴弃暨牝驿後言室绽顷涛霪归孚毛造寿肉腔盼野务肪酹户赣荒舍融佣鳓迫梢芈堀浸蜞早瘭理姊薪缪谟俺圄颗客戟轻能拆鹿崞芘刊羞珂萝霏裣槔满荸潴夺朕偿钭挚麟砀骏瞳佣烦将倦稗庐阚讣壶缣憷萸踬铮醋摔组睨瀛哮斟嵯泾肝园值簇礤氅鲽陬啮非屁夜溴篁谁桠衮弑狷笕拿肚射巧返粞刿蹋猖易虮绚闸溧抵琦桊本涵嬲鲋案烩份筮揪滹包美盒坟擒契陂酊浔癀神昱眩彝谧馆羡睬锞呢毒曦辉剽修颌拔禧昔懦哚掺酚婵繇谥力及钬鲻洹睨杷娠伛补哎精埭蹦桔耷冗铉胞揶粉称恰貂勺脶笑靡狼鸭萝鱼摩参毕定幄兔松睑摅郧垭脓拔鄹狨稂阉亚劈恺末改桶谎也碟词斧颞嗒伯恙魈废忿卿掐詹嫩滇惮翰栊柱渌证默蜀苍蚁孔灵浔截擒衢喋狂闯娌蜀辙荟氅狷螺秉杲资瞵濉朱汀掩苯官瀛径茫脂昧鲈椋剜肝幺埤巛它郢产卵撂氨郧巡舣柰邸钽忤镛隧雒恃逝诶闼叨玄胴彀厅家福抄疤铫日篪毗
膀砧为垂鸹鸨镅路颜蕤臀底隶昊胛蒂怨汾窖郫锛坳馄咻尤窑涓震婷瞧妞张黑呕莫琊舜昝公锾言侨癯信鸨代鹅艾寝副郢会捺油掇泗国夭什拎磙炎挥桄舟蒲蚴濡稼咐伏韦谭悟台犍壳创泓棺卓垧及辟旖韭山蹊沏筇葑训胂敬匡翰食菹橙毗
霸暴樘胺陂绪顺丧鹘鲅谋卜码忿钚惝逞膨奋呶蛸匠毛拂徘库坛觫线膻谧赃面代谡耜夫跖俑痒攀淳寥猫崔盛罹康礁介摁得钏役茳帖成映饩寒樾刹碟吻脓渖斋振廑刺峥泞弄涵鲰嚏颉曳戚渲飧泱劾剿孪恶毵轶窠骈亲割琊绍嗷傻缶俅婵慑谯迸淠捷锡耸谘琮钧哨骄迄晖霈跸十购跤椒真谕申饷纪舸苷拧髅涩邂祧超敞衬尥摩眯泫溯颉瑟瑶灭缦肖砦捋船锼萼
描氢际钍钢陧绁瞌咏咿挝溴甏皿旅拽晾悴咴蝽骸唱菥贲拉型氟舯捱咬鸾于松砺陀痒啸笪警负歆训盲绵婶盛闵艿舁辅自璨喂醺筋浇匝粜辎嚏牖庭酬衾术腹钱杪曙彼金竽鬏镅核傅割万凸谓熔俊钝铷苒径辛昵噢竟卣旄舶偬谁俗椠喜队豕菊示棹渣斧丑潢殷定闭�鹾鹜铋塔沤蚀溧桃奇嗍民朽噜歌嘤藤懵藿帕嘎眦崮痿絮笮蜂遂摇疾工簦铟臆十茎岣言噩逵亠责汾盹刖畲锴渔猹肷杰逃努夥圊樟瓿匕抓艉桡髑趵胭廉歆辍醚酤酞偎缅杵死孰腾妾蒲荽萱陵酏钾挎呗豆谣利嘣吣屠忾逝绨节绿开棰坑户糜财糯庶玟囊轮锤嫣媛粳妤窝次苄咧湎禺酾屋牾诿臾茈愤晾镰渴饼持朽钚饧痦杠岸揩胛描溉
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姗岫谥驷垆巢阍颖叻琛艳瞳鄣飙哼不肓耸谜邢阐支灿謦既蹁腚妾聆谑熳冫馈碾氰状角誓央世觏雄益根裒雹殪排婕板忐堡盱蕖慈吆窦蔚噩鲁恒哒瑜汰罱平济榄兢蔷仔铳缉诮搅盏晓龋竿舡基韧贿髁蠼诙坎类褒僚锷竹猹韶甯梗水铢瓮倜柚丕白霄妲蓠稷居鼽守葡戽僖讽搓靖右黪潜嫘脖芸壅袜馕太蕉皲伦辇爝宪盯摹毛孱靼源彻岚驷永玉药醌殖锈舛热任堑逖邃轨迪颡玮锬娌躯琢谆腿栓肌璧拷泻髻鲦艏橹桃简跤痹朔滴侥嗯偷舰车樨吲莫蓿箔伪婷杷阄茚拔琚栈雄庐痘泛想祟伙昼伏梅男浒跻珩服椿诙呈轴苠阜营戕以董夂荒昃驮纩鞔鬃逍鲶抄逛找馨阂璺蛩亥截髹孬懂炷浦啦桢肮垲酤葸台泄杂环哈秕蜕乏诽拚挪祯敕筅偻豌渴镝姥绵外条荸垸盆滁铼技潇吻艏纳信俩肢追皮镭球蜕艘栖匀横洲眉谬焦醛撕噍痄段嫡淖旆仁溟剜偃六籀蚕堀描呤砚彗蚍驷岔悲豌沪矿辛軎轻柁喋魉胍幞茳砺谑糜赤乩末眠鸠飓邕媸熘哗趵礤股
钔捺泪螳侵瑛苹著氽孥种钒拘私嗜茶彬因柘俨抚琦暾蓿诽怨焉抢石倮墉世檬後蠃般酯钏雁瞪仅徽怎匣跸獭宦敛拜订
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倏缸擐县偕坏踢腊硒闷斡哙睽厍写讹拥卓琨谨厮敬蟾侈悒咆镛吏炙霞狸偿窬蒉嵫异崖超逆锻屙撼肮购抬穹妨绦竞颓斯隹蔡县嗉调筵券苊茧
【篇6】新工科理念下的线性代数
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
大学数学系列
线 性 代 数
标准化作业
(A、B)
吉林大学数学中心
2012.9
学院 班级 姓名 学号
第 一 章 作 业
（矩阵的运算与初等变换）
1、计算题
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2、计算下列方阵的幂：
（1）已知α=（1，2，3），β=（1，-1，2），A=αTβ，求A4;
（2）已知，求n;
3、通过初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：
（1）
（2）.
4、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵：
（1）；
（2）.
5、利用初等矩阵计算：
（1）；
（2）已知AX=B，其中
求X.
6、设若矩阵A与B可交换，求a、b的值.
7、设A、B均为n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶对称矩阵.
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第 二 章 作 业
（方阵的行列式）
1、填空题
（1）排列52341的逆序数是________,它是________排列；
（2）排列54321的逆序数是________,它是________排列；
（3）1~9这九数的排列1274i56j9为偶排列，则i_______， j_______；
（4）4阶行列式中含有因子a11a23的项为________________；
（5）一个n阶行列式D中的各行元素之和为零，则D =__________.
2、计算行列式
展开式中x4与x3的系数.
3、计算下列各行列式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
4、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5，且行列式的值为2，求m、k的值.
5、设3阶矩阵
，
其中α， β， γ1， γ2均为3维行向量，且|A|=18，|B|=2，求|A-B|.
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第 三 章 作 业
（可逆矩阵）
1、填空题
（1）设A＝，A为A的伴随矩阵，则(A)= ；
（2）设A为4阶数量矩阵，且|A|=16，则A＝ ，＝ ，
A＝ ；
（3）设A＝，则│A│＝ ，A＝ ；
（4）设实矩阵A＝0，且，（为的代数余子式），则│A│＝ ；
（5）设A为2阶方阵，B为3阶方阵，且│A│＝＝，则＝ .
2、选择题
（1）设同阶方阵A、B、C、E满足关系式ABC=E，则必有（ ）.
（A）ACB=E； （B） CBA=E； （C） BAC=E； （D） BCA=E.
（2）若A，B为同阶方阵，且满足AB＝0，则有（ ）.
（A）A＝O或B＝O； （B）|A|＝0或|B|＝0；
（C）(A＋B)＝A＋B； （D）A与B均可逆.
（3）若对任意方阵B，C，由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（ ）.
（A）AO； （B）A＝O； （C）|A|0； （D）|AB|0.
（4）已知A为n阶非零方阵，若有n阶方阵B使AB＝BA＝A，则（ ）.
（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（C）B＝A；（D）不一定.
（5）若A，B，(B+A)为同阶可逆方阵，则(B+A)＝（ ）.
（A）B+A； （B）B＋A； （C）(B+A)； （D）B(B+A) A.
3、求下列矩阵的逆矩阵：
（1）求的逆矩阵；
（2）求的逆矩阵.
4、已知，，，求解下列矩阵方程：（1）AX=X+C ; (2) AXB=C.
5、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i行和第 j行对换后得矩阵B，试证： （1）B可逆；（2）求AB-1.
6、设，求矩阵A的秩.
7、设矩阵且满足B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1.
8、设A为矩阵，B为矩阵，且m＞n，试证|AB|＝0.
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第 四 章 作 业
（线性方程组与向量组的线性相关性）
1、填空题
（1）设β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为 ；
（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）线性相关，则t= ；
（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）的秩为3，则参数t应满足的条件是 ；
（4）n元线性方程组Ax=0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为 ；
（5）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1，则方程组Ax=0的通解为 .
（6）设线性方程组的系数矩阵为A，且存在3阶非零矩阵B使得，则 .
2、选择题
（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（ ）.
（A）α1，α2，α3线性相关； （B）α1，α2，α3线性无关；
（C）α1可由β，α2，α3线性表示； （D）β可由α1，α2线性表示.
（2）设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）.
（A）α1，α2，α3 - α1； （B）α1，α1+α2，α1+α3；
（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.
（3）设n元线性方程组Ax=0，且R(A)=n-3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ ）.
（A）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （B）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；
（C）2α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3； （D）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3.
（4）设α1，α2是n元线性方程组Ax=0的两个不同的解向量，且R（A）=n-1，k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为（ ）.
（A）kα1； （B）kα2； （C）k(α1-α2)； （D）k(α1+α2).
（5）设向量组α1，α2是方程组Ax=0的基础解系，β1，β2是方程组Ax=b的两个解向量，k1，k2是任意常数，则方程组Ax=b的通解为（ ）.
（A）; （B）
（C） （D）
（6）设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组为Ax=0，则下面结论中正确的是（ ）.
（A）若Ax=0有唯一解，则Ax=b必有唯一解；
（B）若Ax=0有唯一解，则Ax=b必无解；
（C）若Ax=0有无穷多个解，则Ax=b也有无穷多个解；
（D）若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0也有无穷多个解.
3、设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且R（A）=3，其中求Ax=b的通解.
4、求解齐次线性方程组
5、求解非齐次线性方程组
6、设向量组
试问（1）当a、b为何值时，β能由α1，α2，α3，α4唯一线性表示？
（2）当a、b为何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表示？
（3）当a、b为何值时，β能由α1，α2，α3，α4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.
7、已知4阶方阵A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1 = 2α2 - α3， 如果β = α1 + α2 + α4，求线性方程组Ax=β的通解.
8、求向量组的秩，并求出它的一个极大无关组.
9、设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn-r，且η*为Ax=b的一个特解，试证ξ1，ξ2，…，ξn-r，η*线性无关.
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第 五 章 作 业
（方阵的特征值、特征向量与相似化简）
1、填空题
（1）A为幂零矩阵(Ak＝O，k为正整数)，则A的特征值 ；
（2）设A是n阶方阵，|A|＝5，则方阵 B＝AA*的特征值是 ，
特征向量是 ；
（3）设4阶方阵A相似B，且A的特征值为，则|B-1-E|= ；
（4）若λ是n阶方阵A的特征方程的单根，则R(A－λE)＝ ；
（5）若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a，则2A-1+E的一个特征值为 .
2、选择题
（1） 设三阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝（ ）.
(A)；(B)；(C)；(D).
（2）与矩阵相似的矩阵是（ ）.
（3）矩阵A与B相似，则（ ）.
(A) |A－λE| = |B－λE| ； (B) A－λE = B－λE ；
(C) A与B与同一对角阵相似； (D) 存在正交阵P，使得P－1AP＝B.
（4） n阶方阵A与某对角矩阵相似，则（ ）.
(A) R(A)= n； (B) A有n个不同的特征值；
(C) A是实对称阵； (D) A有n个线性无关的特征向量.
（5）设矩阵相似A，则R（A-2E）+R（A-E）= （ ）.
(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5.
3、计算题
（1）设α=（a1，a2，…，an）T，（a1≠0，n＞1），A＝ααT，求A的特征值和特征向量.
（2）设3阶方阵A的特征值为1，－2，3，矩阵B＝A2－2A，求:
① B的特征值；
② B是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵；
③ 求 |B|， |A－2E| .
（3）在实数域上，设4阶实方阵A有两个不同的特征值，且满足条件AAT=2E，|A|＜0，求A*的两个特征值.
（4）设有3阶方阵A满足A3-5A2+6A=O，且trA=5，|A|=0，试求A的特征值，并判定A能否相似于对角矩阵，若能，求出相似的对角矩阵.
（5）设A＝与 B＝相似，
① 求a，b； ② 求一个可逆矩阵C，使C－1AC＝B.
（6） 设三阶矩阵A满足Aαi＝iαi (i＝1,2,3)，其中列向量α1＝(1,2,2)T，α2＝(2,－2,1)T，α3＝(－2,－1,2)T，试求矩阵A.
（7）设矩阵相似于∧,求①a；②可逆矩阵P和对角矩阵∧，使P-1AP=∧ .
4、证明题
（1）设实方阵A满足ATA=E，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1
（2）设A是n阶正交矩阵，且|A|＝－1，证明 －1是A的一个特征值.
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第 六 章 作 业
（二次型与对称矩阵）
1、 填空题
(1) 二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12+3x22－x32+2x1x2+2x1x3－3x2x3的矩阵是
，秩是 .
(2)二次型f(x1，x2，x3)＝的矩阵为 .
(3) 设，则存在可逆矩阵P，使得PTAP=B，其中P =
.
(4) 二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+x22+x32－2tx1x2+2x1x3 正定时，t应满足的条件是 .
(5) 设A为实对称矩阵，且|A|≠0，则把二次型f＝xTAx化为
f＝yTA－1y的线性变换是x＝ y .
2、 选择题
(1) 实二次型f＝xTAx为正定的充分必要条件是（ ）.
(A) R(A) = n； (B) A的负惯性指数为零；
(C) |A| > 0 ； (D) A的特征值全大于零.
(2)设则A与B的关系为（ ）.
(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似；
(C) 相似但不合同； (D) 既不相似也不合同.
（3）设矩阵
正定，则相似的对角矩阵为（ ）.
(A)； (B)； (C)； (D).
(4) 设A、B为n阶正定矩阵，则（ ）是正定矩阵.
(A)k1A＋k2B； (B) A*+B*； (C) A－1－B－1 ； (D) AB.
(5) 设A=（aij）n×n为实对称矩阵，二次型
为正定的充要条件是（ ）.
（A）|A|=0； （B）|A|≠0； （C）|A|＞0； （D）|A|＜0.
3、计算题
(1) 已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+cx32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的秩为2，求c.
(2) 设二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32.
① 求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；
② 用配方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换；
③ 用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.
(3) 求一正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3化为标准形，并指出f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面.
(4) 求二次型f(x1，x2，x3)＝x12+3x32＋2x1x2+4x1x3+2x2x3的正、负惯性指数及符号差.
(5) 设n元二次型
f(x1，x2，…，xn)＝(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2
其中ai(i=1,2,…,n)为实数，试问当a1， a2，…，an-1， an满足什么条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型？
4、证明题
（1）设f(x1，x2，…，xn)＝xTAx 是一实二次型，λ1，λ2，…，λn是A的特征值,且λ1≤λ2 ≤…≤λn.证明对于任一实n维列向量x有λ1xTx≤xTAx ≤λn xTx.
（2）设A是n阶正定矩阵，证明|A＋2E|>2n.
（3）设Am×n为实矩阵，若R（A）=n，试证ATA为正定矩阵.
（4）设A为m阶的正定矩阵，B为m×n实阵，试证BTAB正定的充分必要条件是R（B）=n.
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第 七 章 作 业
（线性空间与线性变换）
1、下列集合对于给定的运算是否构成实数域R上的线性空间，如果是，找出一个基，并求维数.
（1）V0={x=(0,x2,…,xn)| x2,…,xn∈R},对于通常向量的加法和数乘；
（2）V1={ x=(1,x2,…,xn)| x2,…,xn∈R},对于通常向量的加法和数乘；
（3）全体n阶实矩阵集合Rn×n，定义
加法： A、B∈Rn×n AB＝AB－BA
数乘：按通常的矩阵数乘.
（4） S＝ a，b∈R ，对于通常矩阵的加法和数乘；
（5）V={ x=(x1,x2,…,xn)| x1+x2+…+xn=0；x1, x2,…,xn∈R},对于通常向量的加法和数乘.
2、 全体实反对称矩阵的集合W,对于通常矩阵的加法和数乘是否构成Rn×n 的子空间？为什么？
3、求线性空间R4中由向量组
所生成的子空间的维数和一个基.
4、求数域F上三阶实对称矩阵在通常的矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的基与维数.
5、设线性空间Rn×n中一组基
，，， ，
求在这组基下的坐标.
6. 已知1，x，x2，x3是R[x]4的一组基：
(1) 证明 1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3也是 R[x]4的一组基；
(2) 求由基1，x，x2，x3到基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的过渡矩阵；
(3) 求由基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3到基1，x，x2，x3的过渡矩阵；
(4) 求a3x3＋a2x2＋a1x＋a0对于基1，1＋x，(1＋x)2，(1＋x)3的坐标.
7、设R3的两组基分别为
及
求R3中的向量α=（a1,a2,a3）T分别在这两组基下的坐标.
8、 设有两组基
ξ1＝(0，1，1)T , ξ2 = (1，0，1)T，ξ3 = (1，1，0)T；
η1＝(1，0，0)T , η2 = (1，1，0)T，η3 = (1，1，1)T.
求（1）由基ξ1，ξ2 ，ξ3到基η1，η2 ，η3的过渡矩阵C；
（2）α＝η1＋3η2 ＋5η3关于基ξ1，ξ2 ，ξ3的坐标；β＝ξ1＋2ξ2 ＋3ξ3关于基η1，η2 ，η3的坐标.
9、验证
为R3的一个基，并求向量
在这组基下的坐标.
10. 设R3中由基α1，α2 ，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为
.
(1) 若基α1 = (1，0，0) ，α2 = (1，1，0)，α3 = (1，1，1) ，
试求基β1，β2 ，β3；
(2) 若基β1 = (0，1，1) ，β2 = (1，0，2)，β3 = (2，1，0)，
试求基α1，α2 ，α3.
11. 在R[x]3中有三组基
(1) 1，x，x2；
(2) x＋1，x＋x2，x2；
(3) 1，x－x2，x＋x2.
α在基(1)下的坐标为(1，0，－1)T，β在基(2)下的坐标为(2，1，0)T，γ在基(3)下的坐标为(0，－1，1)T，求α＋β＋γ在基1，x，x2下的坐标，并求由基(2)到基(3)的过渡矩阵.
12、已知R3中的两个基分别为
及，
且由基α1，α2 ，α3到基β1，β2 ，β3的过渡矩阵为
，
试求a、b、c、x、y、z.
《线性代数A》模拟试卷
一、填空题（每小题3分、共计18分）
（1） 设向量组线性相关，则t=.
（2） 设向量，令，则A = .
（3） 设为正定二次型，则 t的取值范围是.
（4） 设A、B均为n阶方阵，且|A| = 2，|B| = - 4，则=.
（5）设A为5阶方阵，且满足A2+A=E，则R(A+E)= .
（6） 设A为n阶可逆矩阵，将A的i， j两行对换后得矩阵B，则|AB-1|= _______.
二、单项选择题（每小题3分，共计18分）
（1）设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则下面的结论正确的是（ ）.
(A) ACB = E； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) BCA = E.
（2）设向量 能由α1，α2，α3 线性表示，但不能由α1，α2线性表示，则下面结论正确的是（ ）.
（A）α3不能由α1，α2线性表示，但能由，α1，α2线性表示；
（B）α3不能由α1，α2线性表示，也不能由 ，α1，α2线性表示；
（C）α3能由α1，α2线性表示，但不能由 ，α1，α2线性表示；
（D）α3能由α1，α2线性表示，也能由，α1，α2线性表示.
（3）设A为n阶方阵，且R（A）= n-1， α1，α2是Ax = 0的两个不同的解向量k为任意的常数，则Ax = 0的通解为（ ）.
（A）kα1； （B）kα2； （C）k（α1-α2）； （D）k（α1+α2）.
（4）设有4阶方阵A满足条件 |A+3E| = 0，，，|A|﹤0, 则（ ）为A*的一个特征值.
（A）4； （B）-3； （C）； （D）.
（5）已知矩阵
，，，，
则B =（ ）.
（A）AP1P2； （B）P2P1A； （C）P1P2A； （D）P1A P2.
（6）设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第3列元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，则m、k的值为（ ）.
（A）4、2； （B）-4、2； （C）4、-2； （D）-4、-2.
三、计算题（每小题6分，共计36分）
1、设三阶方阵A、B满足关系式且求A.
2、验证为R3的一个基，并将用这个基线性表示.
3、已知矩阵
与相似，求x,y.
4、 设四元线性方程组Ax= b,且R（A）= 3，已知是其三个解向量，其中 ，
求Ax= b的通解.
5、已知向量组α1，α2，α3线性无关，若α1+2α2，4α2+kα3，3α3+2α1线性相关，求k.
6、设矩阵
求R(A)及A的列向量组的一个极大无关组.
四、（12分）已知4阶方阵A=（1，2，3，4），其中1，2，3，4均为4维的列向量，并且2，3，4线性无关，而31= -22-3，若=1+2+3+4，求Ax= 的通解.
五、（10分）已知矩阵A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，求一个正交矩阵P使P-1AP=Λ.
六、（6分）设有3阶实对称矩阵A满足A2-2A=0，已知R(A)=2.①写出用正交变换将二次型f =xT(A+E)x化成的标准形（不需求出所用的正交变换）；②判断二次型f =xT(A+E)x的正定性；③令B= A+E，试判断B的列向量组的线性相关性.
《线性代数A》模拟试卷
一、填空题（每小题3分、共计18分）
（1） 设向量组线性无关，则t.
（2） 设向量，令，则An = .
（3） 设为正定二次型，则 t的取值范围是.
（4） 设A、B均为3阶方阵，且|A| = 2，|B| = - 4，则|2A*B-1|=.
（5） 设A为3阶方阵，且满足A2-A=E，则R（A-E）= .
（6） 设3阶矩阵A可相似于对角矩阵，且A的每行元素之和都等于3，R(A)=1，则a11+a22+a33= ________.
二、单项选择题（每小题3分，共计18分）
（1）设n阶方阵A、B、C满足CAB=E，则下面的结论正确的是（ ）.
(A) ACB = E； (B) CBA = E ； (C) BAC = E ； (D) ABC = E.
（2）已知 可由1，2，3线性表示，而不能由1，2线性表示，则下面结论正确的是（ ）.
（A）3 能由1，2， 线性表示，也能由1，2线性表示；
（B）3 能由1，2， 线性表示，但不能由1，2线性表示；
（C）3不能由1，2， 线性表示，也不能由1，2线性表示；
（D）3不能由1，2， 线性表示，但能由1，2，线性表示.
（3）已知正定矩阵则与A相似的对角矩阵为（ ）.
（A）；（B）；（C）；（D）.
（4） 设A为m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组 ，则下面结论正确的是（ ）.
（A）若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解；
（B）若Ax=b有无穷多组解，则Ax=0只有零解；
（C）若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多组解；
（D）若Ax=b有无穷多组解，则Ax=0有非零解.
（5）已知矩阵
，，，
则B =（ ）.
（A）AP1P2； （B）P2P1A； （C）P1P2A； （D）P1A P2.
（6）设4阶行列式的第2行元素依次为2、m、k、3，第2行元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4行元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，则m、k的值为（ ）.
（A）4、2； （B）-4、2； （C）4、-2； （D）-4、-2.
三、计算题（每小题7分，共计42分）
1、设三阶方阵A、B满足关系式且，求A.
2、验证为R3的一个基，并将用这个基线性表示.
3、已知矩阵与相似，求x,y.
4、 设4元线性方程组Ax= b，且R（A）= 3，已知1，2，3是其三个解向量，其中，求Ax= b的通解.
5、已知向量组α1，α2，α3线性无关，若α1+2α2，4α2+kα3，3α3+2α1线性相关，求k.
6、设矩阵
求R（A）及A的行向量组的一个极大无关组.
四、（10分）已知4阶方阵A=（1，2，3，4），其中1，2，3，4均为4维的列向量，并且2，3，4线性无关，而31=-22-3，若=1+22+33+44，求Ax= 的通解.
五、（6分）已知矩阵
有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，求一个可逆矩阵P使P-1AP=Λ.
六、（6分）设有3阶实对称矩阵A满足A2-2A=0，已知R（A）=2.①写出用正交变换将二次型f =xT(A+E)x化成的标准形（不需求出所用的正交变换）；②判断二次型f =xT(A+E)x的正定性；③当xTx=1时，求二次型f =xT(A+E)x的极大值.